Uma construtora está comparando a eficiência de dois fornecedores de blocos cerâmicos. Do Fornecedor A, foram inspecionados 200 blocos e encontrados 15 defeituosos. Do Fornecedor B, foram inspecionados 180 blocos e encontrados 9 defeituosos. Construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença ( \pi_{1}-\pi_{2}) das proporções de blocos defeituosos:
Intervalo bilateral com nível de confiança de 95 %

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança bilateral de 95% para a diferença das proporções de blocos defeituosos entre o Fornecedor A e o Fornecedor B, isto é para \pi_{1}-\pi_{2}.
Dados fornecidos:
  • Do Fornecedor A: n_{1}=200 blocos inspecionados, defeituosos x_{1}=15.
  • Do Fornecedor B: n_{2}=180 blocos inspecionados, defeituosos x_{2}=9.
Pergunta explícita: construir o intervalo de confiança bilateral de 95\% para \pi_{1}-\pi_{2}.

Passo 2

Calcular as proporções amostrais observadas (essas serão as estimativas pontuais):
\hat{p}_{1}=\frac{x_{1}}{n_{1}}=\frac{15}{200}=0,075, \qquad \hat{p}_{2}=\frac{x_{2}}{n_{2}}=\frac{9}{180}=0,05.
Antes de usar a aproximação normal, verificar as condições n_{i}\hat p_{i}\ge 5 e n_{i}(1-\hat p_{i})\ge 5:
n_{1}\hat p_{1}=200\cdot0,075=15,\quad n_{1}(1-\hat p_{1})=200\cdot0,925=185,
n_{2}\hat p_{2}=180\cdot0,05=9,\quad n_{2}(1-\hat p_{2})=180\cdot0,95=171.
Todas as quantidades são maiores que 5, portanto a aproximação pelo teorema central do limite (aproximação normal) é aceitável.

Passo 3

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para a diferença de proporções (não pooled, que é o procedimento padrão para IC):
(\hat p_{1}-\hat p_{2}) \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p_{1}(1-\hat p_{1})}{n_{1}}+\frac{\hat p_{2}(1-\hat p_{2})}{n_{2}}},
onde:
  • \hat p_{1} e \hat p_{2} são as proporções amostrais já calculadas;
  • n_{1} e n_{2} são os tamanhos amostrais;
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (para 95% temos z_{0,975});
  • a raiz quadrada é o erro padrão da diferença das proporções.
Observação didática curta: não usamos a variância “pooled” porque o pooling é apropriado para testes de hipótese sobre igualdade de proporções; para construir IC da diferença usamos as estimativas amostrais separadas no erro padrão.

Passo 4

Encontrar o valor crítico z_{0,975} para 95% de confiança:
z_{0,975}=1,96.
Calcular agora cada termo da variância dentro da raiz:
\frac{\hat p_{1}(1-\hat p_{1})}{n_{1}}=\frac{0,075\cdot(1-0,075)}{200}=\frac{0,075\cdot0,925}{200}=\frac{0,069375}{200}=0,000346875,
\frac{\hat p_{2}(1-\hat p_{2})}{n_{2}}=\frac{0,05\cdot(1-0,05)}{180}=\frac{0,05\cdot0,95}{180}=\frac{0,0475}{180}=0,000263888\ldots

Passo 5

Somar as variâncias e extrair a raiz para obter o erro padrão da diferença:
\text{soma} = 0,000346875 + 0,000263888\ldots = 0,000610763888\ldots
\text{erro padrão } SE = \sqrt{0,000610763888\ldots}\approx 0,024714.ã

Passo 6

Calcular a margem de erro multiplicando z_{0,975} pelo erro padrão:
\text{margem} = 1,96\cdot 0,024714\approx 0,04842.

Passo 7

Calcular a estimativa pontual da diferença e os extremos do intervalo:
\hat p_{1}-\hat p_{2}=0,075-0,05=0,025.
Intervalo:
\text{limite inferior}=0,025-0,04842\approx -0,02342,
\text{limite superior}=0,025+0,04842\approx 0,07342.
Em termos percentuais, isso corresponde aproximadamente a -2,34\% até 7,34\% de diferença (ou seja, a estimativa sugere que o Fornecedor A pode ter até 7,34 pontos percentuais a mais de defeitos ou até 2,34 pontos percentuais a menos que o Fornecedor B).
Interpretação prática rápida: como o intervalo contém zero, não há evidência estatística, ao nível de 5%, de diferença significativa nas taxas de defeito entre os fornecedores.

Resposta

\;(-0,02342,\;0,07342)

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