Uma construtora está comparando a eficiência de dois fornecedores de blocos cerâmicos. Do Fornecedor A, foram inspecionados 200 blocos e encontrados 15 defeituosos. Do Fornecedor B, foram inspecionados 180 blocos e encontrados 9 defeituosos. Construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença (
) das proporções de blocos defeituosos:
Intervalo bilateral com nível de confiança de 95 %
Intervalo bilateral com nível de confiança de 95 %
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança bilateral de 95% para a diferença das proporções de blocos defeituosos entre o Fornecedor A e o Fornecedor B, isto é para
.
Dados fornecidos:
- Do Fornecedor A:
blocos inspecionados, defeituosos . - Do Fornecedor B:
blocos inspecionados, defeituosos .
Pergunta explícita: construir o intervalo de confiança bilateral de
para
.
Passo 2
Calcular as proporções amostrais observadas (essas serão as estimativas pontuais):
Antes de usar a aproximação normal, verificar as condições
e
:
Todas as quantidades são maiores que
, portanto a aproximação pelo teorema central do limite (aproximação normal) é aceitável.
Passo 3
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para a diferença de proporções (não pooled, que é o procedimento padrão para IC):
onde:
-
e são as proporções amostrais já calculadas; -
e são os tamanhos amostrais; -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (para 95% temos ); - a raiz quadrada é o erro padrão da diferença das proporções.
Observação didática curta: não usamos a variância “pooled” porque o pooling é apropriado para testes de hipótese sobre igualdade de proporções; para construir IC da diferença usamos as estimativas amostrais separadas no erro padrão.
Passo 4
Encontrar o valor crítico
para 95% de confiança:
Calcular agora cada termo da variância dentro da raiz:
Passo 5
Somar as variâncias e extrair a raiz para obter o erro padrão da diferença:
Passo 6
Calcular a margem de erro multiplicando
pelo erro padrão:
Passo 7
Calcular a estimativa pontual da diferença e os extremos do intervalo:
Intervalo:
Em termos percentuais, isso corresponde aproximadamente a
até
de diferença (ou seja, a estimativa sugere que o Fornecedor A pode ter até 7,34 pontos percentuais a mais de defeitos ou até 2,34 pontos percentuais a menos que o Fornecedor B).
Interpretação prática rápida: como o intervalo contém zero, não há evidência estatística, ao nível de 5%, de diferença significativa nas taxas de defeito entre os fornecedores.