Uma construtora está comparando a eficiência de dois fornecedores de blocos cerâmicos. Do Fornecedor A, foram inspecionados 200 blocos e encontrados 15 defeituosos. Do Fornecedor B, foram inspecionados 180 blocos e encontrados 9 defeituosos. Construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença ( \pi_{1}-\pi_{2}) das proporções de blocos defeituosos:
Intervalo unilateral limitado por um máximo com nível de confiança de 90 %

Passo 1

O enunciado fornece as inspeções de dois fornecedores e pede um intervalo de confiança unilateral (limitado por um máximo) para a diferença das proporções de blocos defeituosos \pi_{1}-\pi_{2} com nível de confiança de 90\%. Dados que foram informados:
  • Do Fornecedor A: n_{1}=200 blocos inspecionados, com x_{1}=15 defeituosos.
  • Do Fornecedor B: n_{2}=180 blocos inspecionados, com x_{2}=9 defeituosos.
O que pedimos: um intervalo unilateral superior (ou seja, do tipo (-\infty,\; \text{limite superior}]) para \pi_{1}-\pi_{2} com confiança de 90\%.

Passo 2

Calcular as proporções amostrais (estimadores pontuais) de defeituosos em cada fornecedor:
\hat{p}_1=\frac{x_1}{n_1}=\frac{15}{200}=0,075, \qquad \hat{p}_2=\frac{x_2}{n_2}=\frac{9}{180}=0,05.

Passo 3

Calcular a estimativa pontual da diferença das proporções:
\widehat{\Delta}=\hat{p}_1-\hat{p}_2=0,075-0,05=0,025.

Passo 4

Escolha do método e fórmula do erro padrão:
  • Como temos duas amostras independentes e n_1,n_2 são relativamente grandes, a diferença amostral \widehat{\Delta} pode ser aproximada por uma distribuição normal.
  • O erro padrão (desvio-padrão da estimativa) para a diferença de proporções é dado por
\mathrm{SE}=\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}.
Aqui \hat{p}_1 e \hat{p}_2 são as proporções amostrais, n_1 e n_2 os tamanhos amostrais.

Passo 5

Calcular passo a passo o erro padrão:
\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}=\frac{0,075\cdot 0,925}{200}=\frac{0,069375}{200}=0,000346875,
\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}=\frac{0,05\cdot 0,95}{180}=\frac{0,0475}{180}=0,000263888\overline{8}.
Somando:
\mathrm{Var}(\widehat{\Delta})=0,000346875+0,000263888\overline{8}=0,000610763\overline{8}.
Portanto
\mathrm{SE}=\sqrt{0,000610763\overline{8}}\approx 0,024715.

Passo 6

Determinar o valor crítico para o intervalo unilateral com nível de confiança 90\%:
  • Para um intervalo unilateral superior com confiança 1-\alpha=0{,}90 temos \alpha=0{,}10 e o quantil da normal padrão é z_{1-\alpha}=z_{0{,}90}.
  • O valor de z_{0{,}90} (tabela da normal padrão) é aproximadamente 1{,}2816.

Passo 7

Calcular a margem e o limite superior do intervalo:
\text{margem}=z_{0{,}90}\cdot\mathrm{SE}=1{,}2816\cdot 0{,}024715\approx 0{,}03165.
Logo o limite superior do intervalo unilateral é
\widehat{\Delta}+ \text{margem}=0{,}025+0{,}03165\approx 0{,}05665\approx 0{,}0567.
Portanto o intervalo unilateral superior de 90\% é (-\infty,\;0{,}0567].

Passo 8

Verificação das condições e interpretação:
  • Condições para a aproximação normal: n_1\hat p_1=15, n_1(1-\hat p_1)=185, n_2\hat p_2=9, n_2(1-\hat p_2)=171. Todos estes números são maiores que 5, então a aproximação normal é razoável.
  • Interpretação prática: com 90\% de confiança, a diferença real \pi_{1}-\pi_{2} é menor ou igual a aproximadamente 0{,}0567 (ou seja, no máximo cerca de 5{,}67 pontos percentuais a mais de defeitos no Fornecedor A em relação ao B).

Resposta

(-\infty,\;0{,}0567]

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