Uma construtora está comparando a eficiência de dois fornecedores de blocos cerâmicos. Do Fornecedor A, foram inspecionados 200 blocos e encontrados 15 defeituosos. Do Fornecedor B, foram inspecionados 180 blocos e encontrados 9 defeituosos. Construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença (
) das proporções de blocos defeituosos:
Intervalo unilateral limitado por um mínimo com nível de confiança de 90 %
Intervalo unilateral limitado por um mínimo com nível de confiança de 90 %
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (já peguei estes números do enunciado):
- Do Fornecedor A:
blocos inspecionados e defeituosos. - Do Fornecedor B:
blocos inspecionados e defeituosos.
O que o exercício pede:
- Construir um intervalo de confiança unilateral, limitado por um mínimo (ou seja, fornecer apenas o limite inferior), para a diferença das proporções de defeituosos
com nível de confiança de .
Passo 2
Entendendo o que é um intervalo unilateral inferior e qual fórmula usar (aulas rápidas e passo a passo).
- Um intervalo unilateral inferior de nível
dá um número tal que, com de confiança, temos
- Para duas amostras independentes de proporções, o estimador natural da diferença é a diferença das proporções amostrais
, onde:
- A variabilidade dessa diferença é dada pelo erro-padrão (SE)
Vou explicar cada símbolo:
-
é a proporção estimada de defeituosos no fornecedor A (número defeituosos dividido por tamanho da amostra). -
é análogo para o fornecedor B. -
e são os tamanhos das amostras. -
é a raiz da soma das variâncias amostrais das proporções (para amostras independentes). - Para um intervalo unilateral inferior com nível
(aqui ), o fator crítico é o quantil da normal padrão . Com , o quantil usado é (porque queremos a cauda superior correspondente a de probabilidade acumulada). - A fórmula do limite inferior é:
Portanto o intervalo unilateral é
.
Passo 3
Calcular as proporções amostrais
e
.
A diferença observada é
Passo 4
Calcular o erro-padrão
detalhadamente (mostrando as contas).
- Primeiro os termos das variâncias:
- Somando:
- Portanto
(Arredondei o SE para
para manter boas casas significativas; dá para usar
na prova.)
Passo 5
Encontrar o quantil
e explicar por que usamos esse valor.
- Para um intervalo unilateral inferior com
de confiança, e o quantil necessário é . - O valor tabelado é aproximadamente
(Isto significa que a área acumulada à esquerda de
é
.)
Passo 6
Calcular o limite inferior
usando a fórmula e os números obtidos.
Calcule o produto:
Então
Arredondando de forma prática para três casas decimais após a vírgula,
.
Passo 7
Interpretação final e condição de validade (breve).
- O intervalo unilateral inferior de
é com . Em palavras: com de confiança, pode-se afirmar que
- Observação sobre validade do método: a aproximação pela normal para proporções costuma ser aceitável quando
e são razoavelmente grandes. Aqui e ; o segundo é um pouco próximo do limite, mas geralmente aceitável para uma aproximação. Se a prova pedir justificativa, vale mencionar isso.