Uma construtora está comparando a eficiência de dois fornecedores de blocos cerâmicos. Do Fornecedor A, foram inspecionados 200 blocos e encontrados 15 defeituosos. Do Fornecedor B, foram inspecionados 180 blocos e encontrados 9 defeituosos. Construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença ( \pi_{1}-\pi_{2}) das proporções de blocos defeituosos:
Intervalo unilateral limitado por um mínimo com nível de confiança de 90 %

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (já peguei estes números do enunciado):
  • Do Fornecedor A: n_1=200 blocos inspecionados e x_1=15 defeituosos.
  • Do Fornecedor B: n_2=180 blocos inspecionados e x_2=9 defeituosos.
O que o exercício pede:
  • Construir um intervalo de confiança unilateral, limitado por um mínimo (ou seja, fornecer apenas o limite inferior), para a diferença das proporções de defeituosos \pi_{1}-\pi_{2} com nível de confiança de 90\%.

Passo 2

Entendendo o que é um intervalo unilateral inferior e qual fórmula usar (aulas rápidas e passo a passo).
  • Um intervalo unilateral inferior de nível 90\% dá um número L tal que, com 90\% de confiança, temos
\pi_{1}-\pi_{2} \ge L.
  • Para duas amostras independentes de proporções, o estimador natural da diferença é a diferença das proporções amostrais \hat{p}_1-\hat{p}_2, onde:
\hat{p}_1=\frac{x_1}{n_1},\qquad \hat{p}_2=\frac{x_2}{n_2}.
  • A variabilidade dessa diferença é dada pelo erro-padrão (SE)
\text{SE}=\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}.
Vou explicar cada símbolo:
  • \hat{p}_1 é a proporção estimada de defeituosos no fornecedor A (número defeituosos dividido por tamanho da amostra).
  • \hat{p}_2 é análogo para o fornecedor B.
  • n_1 e n_2 são os tamanhos das amostras.
  • \text{SE} é a raiz da soma das variâncias amostrais das proporções (para amostras independentes).
  • Para um intervalo unilateral inferior com nível 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0,90), o fator crítico é o quantil da normal padrão z_{1-\alpha}. Com \alpha=0,10, o quantil usado é z_{0,90} (porque queremos a cauda superior correspondente a 90\% de probabilidade acumulada).
  • A fórmula do limite inferior é:
L = (\hat{p}_1-\hat{p}_2) - z_{0,90}\cdot \text{SE}.
Portanto o intervalo unilateral é [L,\infty).

Passo 3

Calcular as proporções amostrais \hat{p}_1 e \hat{p}_2.
\hat{p}_1=\frac{x_1}{n_1}=\frac{15}{200}=0,075, \qquad \hat{p}_2=\frac{x_2}{n_2}=\frac{9}{180}=0,05.
A diferença observada é
\hat{p}_1-\hat{p}_2=0,075-0,05=0,025.

Passo 4

Calcular o erro-padrão \text{SE} detalhadamente (mostrando as contas).
  • Primeiro os termos das variâncias:
\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}=\frac{0,075\times(1-0,075)}{200}=\frac{0,075\times0,925}{200}=\frac{0,069375}{200}=0,000346875.
\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}=\frac{0,05\times(1-0,05)}{180}=\frac{0,05\times0,95}{180}=\frac{0,0475}{180}\approx0,0002638889.
  • Somando:
0,000346875+0,0002638889\approx0,0006107639.
  • Portanto
\text{SE}=\sqrt{0,0006107639}\approx0,024713.
(Arredondei o SE para 0,024713 para manter boas casas significativas; dá para usar 0,0247 na prova.)

Passo 5

Encontrar o quantil z_{0,90} e explicar por que usamos esse valor.
  • Para um intervalo unilateral inferior com 90\% de confiança, \alpha=0,10 e o quantil necessário é z_{1-\alpha}=z_{0,90}.
  • O valor tabelado é aproximadamente
z_{0,90}\approx 1,2816.
(Isto significa que a área acumulada à esquerda de z_{0,90} é 0,90.)

Passo 6

Calcular o limite inferior L usando a fórmula e os números obtidos.
L=(\hat{p}_1-\hat{p}_2)-z_{0,90}\cdot\text{SE} =0,025-1,2816\times0,024713.
Calcule o produto:
1,2816\times0,024713\approx0,03168.
Então
L\approx 0,025-0,03168\approx -0,00668.
Arredondando de forma prática para três casas decimais após a vírgula, L\approx -0,0067.

Passo 7

Interpretação final e condição de validade (breve).
  • O intervalo unilateral inferior de 90\% é [L,\infty) com L\approx -0,0067. Em palavras: com 90\% de confiança, pode-se afirmar que
\pi_{1}-\pi_{2}\ge -0,0067.
  • Observação sobre validade do método: a aproximação pela normal para proporções costuma ser aceitável quando n_i\hat{p}_i e n_i(1-\hat{p}_i) são razoavelmente grandes. Aqui n_1\hat{p}_1=15 e n_2\hat{p}_2=9; o segundo é um pouco próximo do limite, mas geralmente aceitável para uma aproximação. Se a prova pedir justificativa, vale mencionar isso.

Resposta

[ -0,0067,\; \infty )

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