7-) Uma disciplina foi oferecida a uma amostra de 12 estudantes por um método convencional, obtendo-se média de 7,5 e desvio padrão de 0,4 . Outra amostra de 10 estudantes fez o mesmo curso por instrução programada e no final do curso, com o mesmo exame, obteve média de 7,1 e desvio padrão de 0,5 . Admitindo-se a distribuição das notas normais, verificar, se as variâncias podem ser consideradas semelhantes (\alpha=0,05) e se há diferença entre as médias dos dois métodos, com um nível de significância de 5 \%. Obter informações dos valores- p das estatísticas de teste aplicadas.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes de notas (distribuição normal assumida) e pede duas verificações com nível de significância \alpha=0{,}05:
  • Amostra 1 (método convencional):
    • tamanho n_1=12;
    • média amostral \bar{x}_1=7{,}5;
    • desvio-padrão amostral s_1=0{,}4.
  • Amostra 2 (instrução programada):
    • tamanho n_2=10;
    • média amostral \bar{x}_2=7{,}1;
    • desvio-padrão amostral s_2=0{,}5.
As perguntas concretas:
  1. Verificar se as variâncias populacionais podem ser consideradas iguais (teste bilaterial de igualdade de variâncias, nível 0{,}05). Obter o valor- p do teste.
  2. Verificar se há diferença entre as médias dos dois métodos (teste para igualdade de médias, nível 0{,}05). Obter o valor- p do teste.
Observação: primeiro testa-se igualdade de variâncias. Se aceitarmos igualdade, usa-se o teste t com variância combinada (pool); se rejeitarmos, usaríamos o teste t de Welch (sem suposição de variâncias iguais). Não há figura nem dados adicionais.

Passo 2

Teste das variâncias — ideia e fórmula (aula rápida e amigável).
  • O teste clássico para comparar duas variâncias amostrais (sob normalidade) é o teste F. A estatística é a razão das duas variâncias amostrais: F=\dfrac{\text{maior variância amostral}}{\text{menor variância amostral}}.ââColocar a maior no numerador garante F\ge 1 e facilita o cálculo do p-valor bilateral (dobrando a cauda superior).
  • Se chamarmos as variâncias amostrais de s_1^2 e s_2^2, e s_{(maior)}^2 a maior delas, então F=\dfrac{s_{(maior)}^2}{s_{(menor)}^2},com graus de liberdade \nu_1=n_{(maior)}-1 no numerador e \nu_2=n_{(menor)}-1 no denominador.
  • A hipótese nula é H_0:\\ \sigma_1^2=\sigma_2^2,e a alternativa bilateral é H_a:\\ \sigma_1^2\ne\sigma_2^2.
Agora aplicando aos dados:
  • Calcular as variâncias amostrais: s_1^2=(0{,}4)^2=0{,}16,\qquad s_2^2=(0{,}5)^2=0{,}25.
  • A maior é s_2^2=0{,}25, a menor é s_1^2=0{,}16. Logo F=\dfrac{0{,}25}{0{,}16}=1{,}5625.
  • Graus de liberdade: \nu_1=n_2-1=10-1=9 (numerador, pois usamos a amostra 2 no numerador), \nu_2=n_1-1=12-1=11 (denominador).
  • Para obter o valor- p bilateral fazemos p=2\cdot P\big(F_{\nu_1,\nu_2}\ge F_{\rm obs}\big). Consultando tabelas de F ou calculadora (note que tabelas dão quantis; para o p-valor é prático usar software), obtém-se o p-valor aproximado. Para F_{\!9,11}=1{,}5625 a probabilidade da cauda superior é aproximadamente 0{,}259, portanto o p-valor bilateral é p\approx 2\times 0{,}259 \approx 0{,}518.
  • Interpretação prática: p\approx 0{,}52 é muito maior que \alpha=0{,}05. Não rejeitamos H_0; não há evidência significativa para afirmar que as variâncias populacionais sejam diferentes. Conclusão: as variâncias podem ser consideradas semelhantes (ao nível de 5\%).
Comentário pedagógico rápido: o p-valor grande indica que a razão observada 1{,}5625 não é incomum quando as variâncias verdadeiras são iguais, dadas as amostras de tamanhos 12 e 10.

Passo 3

Decisão sobre qual teste de médias usar (explicação didática).
  • Como o teste de variâncias não rejeitou H_0 (aceitamos variâncias iguais), podemos usar o teste t de Student com variância combinada (pooled), que é mais potente sob igualdade de variâncias.
  • Se as variâncias tivessem sido consideradas diferentes, usaríamos o teste de Welch (que ajusta os graus de liberdade).

Passo 4

Teste t com variância combinada — fórmulas e interpretação (mini-aula).
  • Objetivo: testar H_0:\\ \mu_1=\mu_2\quad\text{versus}\quad H_a:\\ \mu_1\ne\mu_2(teste bilateral, nível \alpha=0{,}05).
  • Fórmulas:
    • variância combinada (pooled) s_p^2=\dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},onde (n_i-1)s_i^2 é o somatório dos quadrados amostrais ajustado por graus de liberdade.
    • erro padrão da diferença das médias SE(\bar{x}_1-\bar{x}_2)=s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}.
    • estatística de teste t=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{SE(\bar{x}_1-\bar{x}_2)},que, sob H_0 e suposições, segue uma distribuição t com n_1+n_2-2 graus de liberdade.
  • Agora calcular passo a passo com os números.

Passo 5

Cálculos numéricos do teste t (não pule etapas).
  • Calcular s_p^2: s_p^2=\dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} =\dfrac{11\cdot 0{,}16 + 9\cdot 0{,}25}{12+10-2} =\dfrac{1{,}76 + 2{,}25}{20} =\dfrac{4{,}01}{20}=0{,}2005.
  • Desvio-padrão combinado: s_p=\sqrt{0{,}2005}\approx 0{,}4478.
  • Erro padrão da diferença das médias: SE(\bar{x}_1-\bar{x}_2)=s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} =0{,}4478\sqrt{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{10}} =0{,}4478\sqrt{0{,}083333+\;0{,}1} =0{,}4478\sqrt{0{,}183333} \approx 0{,}4478\cdot 0{,}42817 \approx 0{,}19165.
  • Diferença de médias observada: \bar{x}_1-\bar{x}_2=7{,}5-7{,}1=0{,}4.
  • Estatística t: t=\dfrac{0{,}4}{0{,}19165}\approx 2{,}088.
  • Graus de liberdade do teste pooled: \nu=n_1+n_2-2=12+10-2=20.
  • Valor- p: é um teste bilateral, então p=2\cdot P\big(T_{20}\ge |t_{\rm obs}|\big)=2\cdot P\big(T_{20}\ge 2{,}088\big).Consultando tabela t ou calculadora, para t\approx 2{,}088 com \nu=20 a probabilidade unilateral é cerca de 0{,}024, então p\approx 2\times 0{,}024 \approx 0{,}048.
  • Interpretação: p\approx 0{,}048<\alpha=0{,}05. Rejeitamos H_0 ao nível de 5\%; há evidência estatística de diferença entre as médias dos dois métodos (a média do método convencional é maior na amostra).
Comentário pedagógico: o valor de t ficou muito próximo do valor crítico (em tabelas t_{0{,}025,20}\approx 2{,}086); portanto o resultado é limítrofe, mas pelo cálculo numérico o p-valor é ligeiramente menor que 0{,}05.

Passo 6

Resumo e interpretações práticas (rápido e motivador).
  • Sobre variâncias: não há evidência para afirmar diferença de variâncias ( p\approx 0{,}52). Podemos assumir variâncias iguais.
  • Sobre médias: usando o teste t com variância combinada, encontramos t\approx 2{,}088 com 20 graus de liberdade e p\approx 0{,}048. Ao nível 5\% rejeitamos a hipótese de médias iguais; a amostra do método convencional apresentou média amostral maior ( 7{,}5 vs 7{,}1).
  • Observação prática: o achado sobre médias é estatisticamente significativo (mas limítrofe). Em termos práticos (tamanho do efeito), a diferença média é 0{,}4 ponto; avaliar se isso é relevante pedagogicamente depende do contexto.

Resposta

Variâncias: não rejeita-se H_0 de igualdade das variâncias ( F=1{,}5625, \nu_1=9,\\ \nu_2=11); p\approx 0{,}52.
Médias: teste t pooled com t\approx 2{,}088, \nu=20; p\approx 0{,}048. Conclusão: diferença de médias estatisticamente significativa ao nível 5\%.

Exercícios relacionados