7-) Uma disciplina foi oferecida a uma amostra de 12 estudantes por um método convencional, obtendo-se média de 7,5 e desvio padrão de 0,4 . Outra amostra de 10 estudantes fez o mesmo curso por instrução programada e no final do curso, com o mesmo exame, obteve média de 7,1 e desvio padrão de 0,5 . Admitindo-se a distribuição das notas normais, verificar, se as variâncias podem ser consideradas semelhantes
e se há diferença entre as médias dos dois métodos, com um nível de significância de
. Obter informações dos valores-
das estatísticas de teste aplicadas.
Passo 1
O enunciado dá duas amostras independentes de notas (distribuição normal assumida) e pede duas verificações com nível de significância
:
-
Amostra 1 (método convencional):
- tamanho
; - média amostral
; - desvio-padrão amostral
.
- tamanho
-
Amostra 2 (instrução programada):
- tamanho
; - média amostral
; - desvio-padrão amostral
.
- tamanho
As perguntas concretas:
- Verificar se as variâncias populacionais podem ser consideradas iguais (teste bilaterial de igualdade de variâncias, nível
). Obter o valor- do teste. - Verificar se há diferença entre as médias dos dois métodos (teste para igualdade de médias, nível
). Obter o valor- do teste.
Observação: primeiro testa-se igualdade de variâncias. Se aceitarmos igualdade, usa-se o teste
com variância combinada (pool); se rejeitarmos, usaríamos o teste
de Welch (sem suposição de variâncias iguais). Não há figura nem dados adicionais.
Passo 2
Teste das variâncias — ideia e fórmula (aula rápida e amigável).
- O teste clássico para comparar duas variâncias amostrais (sob normalidade) é o teste
. A estatística é a razão das duas variâncias amostrais: Colocar a maior no numerador garante e facilita o cálculo do -valor bilateral (dobrando a cauda superior). - Se chamarmos as variâncias amostrais de
e , e a maior delas, então com graus de liberdade no numerador e no denominador. - A hipótese nula é
e a alternativa bilateral é .
Agora aplicando aos dados:
- Calcular as variâncias amostrais:
- A maior é
, a menor é . Logo - Graus de liberdade:
(numerador, pois usamos a amostra 2 no numerador), (denominador). - Para obter o valor-
bilateral fazemos . Consultando tabelas de ou calculadora (note que tabelas dão quantis; para o -valor é prático usar software), obtém-se o -valor aproximado. Para a probabilidade da cauda superior é aproximadamente , portanto o -valor bilateral é - Interpretação prática:
é muito maior que . Não rejeitamos ; não há evidência significativa para afirmar que as variâncias populacionais sejam diferentes. Conclusão: as variâncias podem ser consideradas semelhantes (ao nível de ).
Comentário pedagógico rápido: o
-valor grande indica que a razão observada
não é incomum quando as variâncias verdadeiras são iguais, dadas as amostras de tamanhos
e
.
Passo 3
Decisão sobre qual teste de médias usar (explicação didática).
- Como o teste de variâncias não rejeitou
(aceitamos variâncias iguais), podemos usar o teste de Student com variância combinada (pooled), que é mais potente sob igualdade de variâncias. - Se as variâncias tivessem sido consideradas diferentes, usaríamos o teste de Welch (que ajusta os graus de liberdade).
Passo 4
Teste
com variância combinada — fórmulas e interpretação (mini-aula).
- Objetivo: testar
(teste bilateral, nível ). - Fórmulas:
- variância combinada (pooled)
onde é o somatório dos quadrados amostrais ajustado por graus de liberdade. - erro padrão da diferença das médias
- estatística de teste
que, sob e suposições, segue uma distribuição com graus de liberdade.
- variância combinada (pooled)
- Agora calcular passo a passo com os números.
Passo 5
Cálculos numéricos do teste
(não pule etapas).
- Calcular
: - Desvio-padrão combinado:
- Erro padrão da diferença das médias:
- Diferença de médias observada:
- Estatística
: - Graus de liberdade do teste pooled:
- Valor-
: é um teste bilateral, então Consultando tabela ou calculadora, para com a probabilidade unilateral é cerca de , então - Interpretação:
. Rejeitamos ao nível de ; há evidência estatística de diferença entre as médias dos dois métodos (a média do método convencional é maior na amostra).
Comentário pedagógico: o valor de
ficou muito próximo do valor crítico (em tabelas
); portanto o resultado é limítrofe, mas pelo cálculo numérico o
-valor é ligeiramente menor que
.
Passo 6
Resumo e interpretações práticas (rápido e motivador).
- Sobre variâncias: não há evidência para afirmar diferença de variâncias (
). Podemos assumir variâncias iguais. - Sobre médias: usando o teste
com variância combinada, encontramos com graus de liberdade e . Ao nível rejeitamos a hipótese de médias iguais; a amostra do método convencional apresentou média amostral maior ( vs ). - Observação prática: o achado sobre médias é estatisticamente significativo (mas limítrofe). Em termos práticos (tamanho do efeito), a diferença média é
ponto; avaliar se isso é relevante pedagogicamente depende do contexto.
Resposta
Variâncias: não rejeita-se
de igualdade das variâncias (
,
);
.
Médias: teste pooled com
,
;
. Conclusão: diferença de médias estatisticamente significativa ao nível
.
Médias: teste