Considere duas empresas de engenharia que operam usinas modulares de dessalinização. Cada firma escolhe uma capacidade instalada
. A demanda por água tratada é
e cada firma só consegue produzir até o limite da capacidade:
. O custo de instalação é
As firmas escolhem capacidade simultaneamente e, após isso, o mercado opera como concorrência perfeita com
.
(a) Modele o problema como um jogo em forma normal (jogadores, estratégias, payoffs).
(b) Determine a melhor resposta de cada firma.
(a) Modele o problema como um jogo em forma normal (jogadores, estratégias, payoffs).
(b) Determine a melhor resposta de cada firma.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Demand a de mercado:
- Cada firma escolhe capacidade instalada
simultaneamente. - Após as capacidades serem escolhidas, a produção de cada firma é igual à sua capacidade:
- Custo de instalação da firma
:
O enunciado pede:
(a) modelar o problema como um jogo em forma normal (jogadores, estratégias, payoffs);
(b) determinar a melhor resposta de cada firma.
(a) modelar o problema como um jogo em forma normal (jogadores, estratégias, payoffs);
(b) determinar a melhor resposta de cada firma.
Passo 2
Vamos construir o payoff (lucro) de uma firma
a partir dos dados. Primeiro, receita-receita:
- Preço de mercado quando as capacidades escolhidas são
é - A produção (venda) da firma
é . - Assim, a receita total da firma
é receita = preço × quantidade:
Agora subtraímos o custo de instalação
para obter o lucro (payoff):
Passo 3
Simplificamos a expressão do lucro:
Interpretação das variáveis na fórmula:
-
é a capacidade (e quantidade vendida) da firma . -
é a produção total do mercado. - O termo
é o lucro por unidade instalada para a firma (preço menos custo marginal implícito aqui).
Com isso podemos escrever o jogo em forma normal:
- Jogadores:
e . - Estratégias: para cada
, escolher . - Payoffs: para cada
,
Passo 4
Agora determinamos a melhor resposta de uma firma
ante uma capacidade fixa do rival
(onde
). Isto é, para dado
resolvemos:
Observe que, para
fixo, a função objeto em
é um polinômio quadrático:
É uma parábola com coeficiente de
negativo, logo é côncava e tem um máximo interno (se existir solução positiva).
Passo 5
Calculamos a primeira ordem (derivada) para achar o ponto crítico:
Zerando a derivada para encontrar candidato a máximo:
Verificamos a segunda derivada para garantir máximo:
portanto
é de fato um máximo local (e global sobre
quando for não negativo).
Passo 6
Precisamos respeitar a restrição
. Assim:
- Se
(i.e. ), então o máximo interior é . - Se
(i.e. ), então o candidato interior é não positivo e o máximo sobre ocorre em .
Portanto a melhor resposta da firma
ao
do rival é
Intuição rápida: quanto maior a capacidade do rival (
), menor o preço esperado e menor o incentivo a instalar capacidade; se o rival instala tanto que
, instalar qualquer capacidade dá lucro não-positivo, então é melhor não instalar nada.
Resposta
(a) Jogadores: firm 1 e firm 2. Estratégias: para cada
, escolher
. Payoffs:
(b) Melhor resposta: