Considere duas empresas de engenharia que operam usinas modulares de dessalinização. Cada firma escolhe uma capacidade instalada k_{i} \geq 0. A demanda por água tratada é
P(Q)=120-Q, \quad Q=q_{1}+q_{2}
e cada firma só consegue produzir até o limite da capacidade: q_{i} \leq k_{i}. O custo de instalação é
C_{i}\left(k_{i}\right)=20 k_{i} .
As firmas escolhem capacidade simultaneamente e, após isso, o mercado opera como concorrência perfeita com q_{i}=k_{i}.
(a) Modele o problema como um jogo em forma normal (jogadores, estratégias, payoffs).
(b) Determine a melhor resposta de cada firma.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Demand a de mercado: P(Q)=120-Q,\qquad Q=q_{1}+q_{2}.
  • Cada firma escolhe capacidade instalada \,k_{i}\ge 0\, simultaneamente.
  • Após as capacidades serem escolhidas, a produção de cada firma é igual à sua capacidade: q_{i}=k_{i}.
  • Custo de instalação da firma i: C_{i}(k_{i})=20\,k_{i}.
O enunciado pede:
(a) modelar o problema como um jogo em forma normal (jogadores, estratégias, payoffs);
(b) determinar a melhor resposta de cada firma.

Passo 2

Vamos construir o payoff (lucro) de uma firma i a partir dos dados. Primeiro, receita-receita:
  • Preço de mercado quando as capacidades escolhidas são k_{1},k_{2} é P(Q)=120-(k_{1}+k_{2}).
  • A produção (venda) da firma i é q_{i}=k_{i}.
  • Assim, a receita total da firma i é receita = preço × quantidade:
\text{Receita}_i = P(Q)\cdot q_{i} = \bigl(120-(k_{1}+k_{2})\bigr)\,k_{i}.
Agora subtraímos o custo de instalação \,20k_{i} para obter o lucro (payoff):
\pi_{i}(k_{1},k_{2}) = \bigl(120-(k_{1}+k_{2})\bigr)\,k_{i} - 20\,k_{i}.

Passo 3

Simplificamos a expressão do lucro:
\pi_{i}(k_{1},k_{2}) = k_{i}\bigl(120-(k_{1}+k_{2})-20\bigr) = k_{i}\bigl(100 - k_{1} - k_{2}\bigr).
Interpretação das variáveis na fórmula:
  • \,k_{i} é a capacidade (e quantidade vendida) da firma i.
  • \,k_{1}+k_{2} é a produção total do mercado.
  • O termo (100 - k_{1} - k_{2}) é o lucro por unidade instalada para a firma i (preço menos custo marginal implícito aqui).
Com isso podemos escrever o jogo em forma normal:
  • Jogadores: 1 e 2.
  • Estratégias: para cada i, escolher \,k_{i}\in[0,\infty).
  • Payoffs: para cada i,
\pi_{i}(k_{1},k_{2}) = k_{i}\bigl(100 - k_{1} - k_{2}\bigr).

Passo 4

Agora determinamos a melhor resposta de uma firma i ante uma capacidade fixa do rival k_{j} (onde j\neq i). Isto é, para dado k_{j} resolvemos:
\max_{k_{i}\ge 0}\\ \pi_{i}(k_{i},k_{j}) = \max_{k_{i}\ge 0}\\ k_{i}\bigl(100 - k_{i} - k_{j}\bigr).
Observe que, para k_{j} fixo, a função objeto em k_{i} é um polinômio quadrático:
f(k_{i}) = -k_{i}^{2} + (100 - k_{j})k_{i}.
É uma parábola com coeficiente de k_{i}^{2} negativo, logo é côncava e tem um máximo interno (se existir solução positiva).

Passo 5

Calculamos a primeira ordem (derivada) para achar o ponto crítico:
\frac{d\pi_{i}}{dk_{i}} = \frac{d}{dk_{i}}\bigl(-k_{i}^{2} + (100 - k_{j})k_{i}\bigr) = -2k_{i} + (100 - k_{j}).
Zerando a derivada para encontrar candidato a máximo:
-2k_{i} + (100 - k_{j}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad k_{i}^{*} = \frac{100 - k_{j}}{2}.
Verificamos a segunda derivada para garantir máximo:
\frac{d^{2}\pi_{i}}{dk_{i}^{2}} = -2 < 0,
portanto k_{i}^{*} é de fato um máximo local (e global sobre [0,\infty) quando for não negativo).

Passo 6

Precisamos respeitar a restrição k_{i}\ge 0. Assim:
  • Se \frac{100 - k_{j}}{2} > 0 (i.e. k_{j}<100), então o máximo interior é \,k_{i}^{*}=\dfrac{100-k_{j}}{2}.
  • Se \frac{100 - k_{j}}{2}\le 0 (i.e. k_{j}\ge 100), então o candidato interior é não positivo e o máximo sobre [0,\infty) ocorre em k_{i}=0.
Portanto a melhor resposta da firma i ao k_{j} do rival é
\text{BR}_{i}(k_{j}) = \max\left\{0,\\ \frac{100 - k_{j}}{2}\right\}.
Intuição rápida: quanto maior a capacidade do rival ( k_{j}), menor o preço esperado e menor o incentivo a instalar capacidade; se o rival instala tanto que k_{j}\ge 100, instalar qualquer capacidade dá lucro não-positivo, então é melhor não instalar nada.

Resposta

(a) Jogadores: firm 1 e firm 2. Estratégias: para cada i, escolher k_{i}\in[0,\infty). Payoffs:
\pi_{i}(k_{1},k_{2}) = k_{i}\bigl(100 - k_{1} - k_{2}\bigr).
(b) Melhor resposta:
\text{BR}_{i}(k_{j})=\max\!\left\{0,\\ \dfrac{100 - k_{j}}{2}\right\}.

Exercícios relacionados