(Consulplan/2023 - MPE/BA) Considere que uma amostra de tamanho n=6 é extraída de uma população arbitrariamente grande com o objetivo de avaliar a satisfação quanto a uma nova lei trabalhista. Considere verdadeiros os rumores de que 30 % da população está satisfeita com a nova lei. Então, a probabilidade de que dois terços dos indivíduos na amostra se declarem insatisfeitos quanto à nova lei é de, aproximadamente:
a) 5,95 %
b) 32,41 %
c) 42,02 %
d) 67,59 %
e) 94,05 %

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado: temos uma amostra de tamanho n = 6 de uma população bem grande. Sabemos que 30 % da galera está satisfeita com a nova lei, logo 70 % está insatisfeita. Queremos a probabilidade de que dois terços (2/3) dos 6 na amostra se declarem insatisfeitos.
Conteúdo: vamos usar Distribuição Binomial, porque cada pessoa na amostra é um “sucesso” (insatisfeito) ou “fracasso” (satisfeito), com probabilidade fixa p = 0.7 e tamanho n = 6.

Passo 2

Definindo a variável aleatória:
Seja X = número de pessoas insatisfeitas na amostra.
Como cada indivíduo é insatisfeito com probabilidade p = 0.7, X ~ Binomial(n=6, p=0.7).

Passo 3

Queremos que 2/3 de 6 pessoas sejam insatisfeitas.
2/3 de 6 = 4.
Então calculamos P(X = 4).

Passo 4

Na binomial, a fórmula é
P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k,
Aqui, n = 6, k = 4, p = 0.7, e (1 – p) = 0.3.

Passo 5

Calculando o coeficiente binomial:
binom64 = 6!4!,2! = 6times52times1 = 15
Agora as potências:
p^4 = (0.7)^4 = 0.2401, (1-p)^6-4 = (0.3)^2 = 0.09

Passo 6

Multiplicando tudo:
P(X=4) = 15 times 0.2401 times 0.09 approx 15 times 0.021609 = 0.324135
Em porcentagem, isso dá cerca de 32,41 %.

Resposta

A probabilidade de que dois terços da amostra se declarem insatisfeitos é aproximadamente 32,41 % (alternativa b).

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