(UNIFIL/2022 - SOMAR) Suponha que uma moeda não viciada seja lançada ao acaso de forma sequencial por 6 vezes. A probabilidade de obter exatamente 3 caras é de (o evento só pode resultar em cara ou coroa):
a) 50 %
b) 31,25 %
c) 33,33 %
d) 30 %

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a gente joga uma moeda justa 6 vezes e quer saber qual a chance de sair exatamente 3 caras. Isso é um problema de Probabilidade usando Distribuição Binomial, onde a gente vai precisar de:
  1. Conceito de evento independente (cada jogada não interfere na outra).
  2. Fórmula da probabilidade binomial: P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^,n - k
  3. Cálculo de combinação e fatorial.

Passo 2

Explicando a teoria: quando temos tentativas independentes (aqui ), cada uma com probabilidade de dar “sucesso” (caras) e de dar “frustração” (coroa), a chance de ter exatamente sucessos é dada pela fórmula da binomial acima. No nosso caso, a moeda é justa, então .

Passo 3

Vamos entender a combinação binomnk = n!k!,(n - k)! . Ela conta de quantas formas a gente pode escolher binom63 = 6!3!,3! = 6 times 5 times 4 times 3!3! times 3! = 6 times 5 times 43 times 2 times 1 = 20 resultados de sucesso entre tentativas. A fórmula é:
Aqui:

Passo 4

Agora aplica na fórmula da binomial:
P(X = 3) = binom63 (12)^3 (12)^6-3 = 20 times (12)^6 = 20 times 164 = 2064 = 516
Pra converter em porcentagem:
516 = 0,3125 = 31,25%

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 3 caras em 6 lançamentos é 31,25% (alternativa b).

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