1. Uma consulta busca documentos relevantes para “machine learning”. Os documentos são representados por vetores de frequência de palavras:
  • Documento 1: [3, 1, 2] (machine, learning, IA)
  • Documento 2: [ 1,4,1 ]
  • Consulta: [2,3,0]
    (a) Calcule a relevância de cada documento.
    (b) Explique qual conceito de álgebra linear é usado para medir relevância e por que ele é eficaz.

Passo 1

O enunciado dá os vetores de frequência (peguei o segundo vetor do enunciado como [1,4,1]) e pede duas coisas:
  • Documento 1: d_1 = [3,1,2].
  • Documento 2: d_2 = [1,4,1].
  • Consulta: q = [2,3,0].
Perguntas:
(a) Calcular a relevância de cada documento em relação à consulta.
(b) Explicar qual conceito de álgebra linear é usado para medir relevância e por que ele é eficaz.

Passo 2

Decisão do método (sem pedir nada a mais): a medida padrão em recuperação de informação para vetores de palavras é a similaridade de cosseno, que normaliza o efeito do comprimento dos vetores e mede o alinhamento entre consulta e documento. Vou usar a similaridade de cosseno definida por:
\cos\theta = \frac{q\cdot d}{\|q\|\,\|d\|}
Onde:
  • q\cdot d é o produto interno (dot product) entre os vetores q e d.
  • \|v\| é a norma euclidiana do vetor v, isto é \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\dots}.
    Explicarei cada peça antes de calcular.

Passo 3

Produto interno e norma — mini-aula rápida e intuitiva:
  • Produto interno (dot product): para dois vetores a=[a_1,a_2,a_3] e b=[b_1,b_2,b_3],
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Ele mede quão “alinhados” os vetores estão, considerando também magnitudes.
  • Norma euclidiana: para a=[a_1,a_2,a_3],
\|a\| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
  • Similaridade de cosseno: pega o produto interno e divide pelo produto das normas, removendo o efeito do comprimento. Geometricamente, \cos\theta é o cosseno do ângulo \theta entre os vetores; quanto mais próximo de 1, mais alinhados (mais relevantes). Agora aplico essas fórmulas aos vetores dados.

Passo 4

Calcular componentes necessárias para o Documento 1.
  • Produto interno q\cdot d_1:
q\cdot d_1 = 2\cdot3 + 3\cdot1 + 0\cdot2 = 6 + 3 + 0 = 9.
  • Norma de q:
\|q\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.
  • Norma de d_1:
\|d_1\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}.

Passo 5

Calcular similaridade de cosseno para d_1.
\cos\theta_1 = \frac{q\cdot d_1}{\|q\|\,\|d_1\|} = \frac{9}{\sqrt{13}\,\sqrt{14}} = \frac{9}{\sqrt{182}}.
Aproximação numérica:
\cos\theta_1 \approx 0{,}667.

Passo 6

Calcular componentes necessárias para o Documento 2.
  • Produto interno q\cdot d_2:
q\cdot d_2 = 2\cdot1 + 3\cdot4 + 0\cdot1 = 2 + 12 + 0 = 14.
  • Norma de d_2:
\|d_2\| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}.

Passo 7

Calcular similaridade de cosseno para d_2.
\cos\theta_2 = \frac{q\cdot d_2}{\|q\|\,\|d_2\|} = \frac{14}{\sqrt{13}\,\sqrt{18}} = \frac{14}{\sqrt{234}}.
Aproximação numérica:
\cos\theta_2 \approx 0{,}9135.

Passo 8

Interpretação e comparação:
  • d_1 tem similaridade aproximadamente 0{,}667.
  • d_2 tem similaridade aproximadamente 0{,}9135.
    Como 0{,}9135 > 0{,}667, o Documento 2 é mais relevante para a consulta q segundo a similaridade de cosseno. Isso faz sentido: d_2 dá mais peso à segunda coordenada (termo “learning”), que a consulta também valoriza bastante ( q tem componente 3 na segunda posição).

Passo 9

Resumo prático (como lembrar para a prova):
  • Calcule produto interno (soma das multiplicações coordenada a coordenada).
  • Calcule normas (raiz da soma dos quadrados).
  • Divida produto interno pelo produto das normas.
  • Compare valores; maior cosseno = maior relevância.
    Fique calmo: em prova faça as contas por etapas e use simplificações (por exemplo, produto interno primeiro) para evitar erros. Você está indo bem — essa é uma técnica direta e muito usada!

Resposta

(a) Documento 1: \cos\theta_1 \approx 0{,}667; Documento 2: \cos\theta_2 \approx 0{,}9135.
(b) Usa-se o produto interno e as normas para calcular a similaridade de cosseno \displaystyle \cos\theta=\frac{q\cdot d}{\|q\|\,\|d\|}; isso é eficaz porque mede o alinhamento (ângulo) entre consulta e documento e normaliza pelo comprimento dos vetores, evitando favorecer documentos mais longos.

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