Considere o conjunto de todas as cores RGB, representadas por vetores ( r, g, b ), onde r, g, b \in \mathbb{R} (valores de intensidade entre 0 e 255 teoricamente estendidos para \mathbb{R} ).
(a) Este conjunto forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R} ?.
(b) Se sim, encontre duas bases distintas para este espaço.
(c) É possível saber a sua dimensão? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de todas as cores RGB representadas por vetores (r,g,b) com r,g,b\in\mathbb{R} (a ideia física é intensidade entre 0 e 255, mas aqui os componentes são considerados em \mathbb{R}).
As perguntas pedidas são:
(a) Este conjunto forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?
(b) Se sim, encontrar duas bases distintas para esse espaço.
(c) É possível saber sua dimensão? Justificar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender direitinho o que significa "ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R}". Vou explicar passo a passo, devagar e com jeitinho, como numa prova.
Definição (informal e prática). Um conjunto V com uma adição de vetores e multiplicação por escalares é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} se, para todos u,v,w\in V e todos \alpha,\beta\in\mathbb{R}, valem as seguintes propriedades principais (vou enunciar as que mais usamos na prova):
Fechamento: u+v\in V e \alpha u\in V.
Existência do vetor zero 0\in V tal que u+0=u para todo u.
Existência do inverso aditivo: para cada u existe -u com u+(-u)=0.
Comutatividade e associatividade da adição: u+v=v+u e (u+v)+w=u+(v+w).
Distributividades: \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v e (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u.
Compatibilidade com multiplicação escalar: (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u) e 1\cdot u=u.
Para o nosso conjunto de cores, precisamos também definir claramente as operações. A maneira natural é a componente a componente (aquela que você já imagina):
Soma: para u=(r_1,g_1,b_1) e v=(r_2,g_2,b_2),
u+v=(r_1+r_2,\; g_1+g_2,\; b_1+b_2).
Multiplicação por escalar \alpha\in\mathbb{R}: para u=(r,g,b),
\alpha u=(\alpha r,\; \alpha g,\; \alpha b).
Passo 3
Agora verifico as propriedades essenciais, mostrando por que todas elas são satisfeitas (mostrar isso numa prova é bastante direto, pois tudo se reduz a propriedades de \mathbb{R}).
Fechamento da soma: Se r_1,g_1,b_1,r_2,g_2,b_2\in\mathbb{R} então r_1+r_2,\;g_1+g_2,\;b_1+b_2\in\mathbb{R}. Logo u+v tem componentes reais e pertence ao conjunto. Portanto a soma é fechada.
Fechamento pela multiplicação escalar: Se \alpha\in\mathbb{R} e r,g,b\in\mathbb{R} então \alpha r,\alpha g,\alpha b\in\mathbb{R}. Logo \alpha u pertence ao conjunto.
Vetor nulo: O vetor (0,0,0) tem a propriedade u+(0,0,0)=u para todo u, logo é o elemento neutro aditivo.
Inverso aditivo: Para u=(r,g,b) o inverso é -u=(-r,-g,-b), pois u+(-u)=(0,0,0).
Comutatividade e associatividade da adição: Para qualquer u,v,w a igualdade componente-a-componente segue de que a soma em \mathbb{R} é comutativa e associativa; por exemplo
(u+v)_1 = r_1+r_2 = r_2+r_1 = (v+u)_1,
e o mesmo vale para as outras componentes, portanto u+v=v+u. Mesma ideia para associatividade.
Distributividades e compatibilidade escalar: Por exemplo,
porque em cada componente valem as identidades distributivas em \mathbb{R}. As demais propriedades (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u, (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u) e 1\cdot u=u também seguem componente-a-componente da aritmética em \mathbb{R}.
Como todos os axiomas são satisfeitos, a conclusão é que o conjunto com essas operações é realmente um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Passo 4
Resumo e interpretação prática: O conjunto das cores RGB com operações componente-a-componente é exatamente o mesmo que o espaço \mathbb{R}^3 (é o mesmo conjunto com as mesmas operações). Em linguagem técnica, é isomorfo (na verdade idêntico, por construção) a \mathbb{R}^3. Isso já resolve a parte (a): a resposta é afirmativa.
Passo 5
Agora vamos construir uma base — primeiro a base mais óbvia e a que quase sempre aparece em prova.
Quero provar que \{v_1,v_2,v_3\} é base, ou seja: gera e é linearmente independente. Uma maneira prática e curta é montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e a matriz é invertível, então geram todo \mathbb{R}^3.
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, por terem três vetores em \mathbb{R}^3, também geram todo o espaço. Portanto \{v_1,v_2,v_3\} é uma base distinta da base padrão.
Observação prática: outra base trivial seria \{(255,0,0),(0,255,0),(0,0,255)\} — é só a base padrão escalada por 255; ainda é uma base, porque multiplicar cada vetor de uma base por escalares não-nulos dá outro conjunto linearmente independente que gera (mas essa é muito similar à padrão). A base que apresentei com v_1,v_2,v_3 é genuinamente diferente (componentes misturadas).]
Passo 7
Agora a dimensão. Definição prática: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base (todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de elementos).
Já encontramos uma base com exatamente três vetores: \{e_1,e_2,e_3\}. Isso mostra que existe uma base com 3 elementos, logo a dimensão é um número menor ou igual a 3. Por outro lado, não é possível ter uma base com menos de 3 vetores porque então esses vetores gerariam um subespaço de dimensão menor (uma reta ou um plano) e não poderiam representar vetores que são linearmente independentes em número 3 (por exemplo e_1,e_2,e_3 são três vetores linearmente independentes). Formalizando: existe um conjunto de três vetores linearmente independentes, logo qualquer base deve ter pelo menos 3 elementos. Combinando as duas ideias conclui-se que toda base precisa ter exatamente 3 vetores.
Portanto a dimensão do espaço é 3.
Resposta
(a) Sim.
(b) \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\} e \{(1,1,0),\,(0,1,1),\,(1,0,1)\}.
(c) \dim=3.