1. Considere o conjunto de todas as cores RGB, representadas por vetores ( r, g, b ), onde r, g, b \in \mathbb{R} (valores de intensidade entre 0 e 255 teoricamente estendidos para \mathbb{R} ).
    (a) Este conjunto forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R} ?.
    (b) Se sim, encontre duas bases distintas para este espaço.
    (c) É possível saber a sua dimensão? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de todas as cores RGB representadas por vetores (r,g,b) com r,g,b\in\mathbb{R} (a ideia física é intensidade entre 0 e 255, mas aqui os componentes são considerados em \mathbb{R}).
As perguntas pedidas são:
(a) Este conjunto forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?
(b) Se sim, encontrar duas bases distintas para esse espaço.
(c) É possível saber sua dimensão? Justificar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender direitinho o que significa "ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R}". Vou explicar passo a passo, devagar e com jeitinho, como numa prova.
Definição (informal e prática). Um conjunto V com uma adição de vetores e multiplicação por escalares é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} se, para todos u,v,w\in V e todos \alpha,\beta\in\mathbb{R}, valem as seguintes propriedades principais (vou enunciar as que mais usamos na prova):
  • Fechamento: u+v\in V e \alpha u\in V.
  • Existência do vetor zero 0\in V tal que u+0=u para todo u.
  • Existência do inverso aditivo: para cada u existe -u com u+(-u)=0.
  • Comutatividade e associatividade da adição: u+v=v+u e (u+v)+w=u+(v+w).
  • Distributividades: \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v e (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u.
  • Compatibilidade com multiplicação escalar: (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u) e 1\cdot u=u.
Para o nosso conjunto de cores, precisamos também definir claramente as operações. A maneira natural é a componente a componente (aquela que você já imagina):
  • Soma: para u=(r_1,g_1,b_1) e v=(r_2,g_2,b_2),
u+v=(r_1+r_2,\; g_1+g_2,\; b_1+b_2).
  • Multiplicação por escalar \alpha\in\mathbb{R}: para u=(r,g,b),
\alpha u=(\alpha r,\; \alpha g,\; \alpha b).

Passo 3

Agora verifico as propriedades essenciais, mostrando por que todas elas são satisfeitas (mostrar isso numa prova é bastante direto, pois tudo se reduz a propriedades de \mathbb{R}).
Fechamento da soma: Se r_1,g_1,b_1,r_2,g_2,b_2\in\mathbb{R} então r_1+r_2,\;g_1+g_2,\;b_1+b_2\in\mathbb{R}. Logo u+v tem componentes reais e pertence ao conjunto. Portanto a soma é fechada.
Fechamento pela multiplicação escalar: Se \alpha\in\mathbb{R} e r,g,b\in\mathbb{R} então \alpha r,\alpha g,\alpha b\in\mathbb{R}. Logo \alpha u pertence ao conjunto.
Vetor nulo: O vetor (0,0,0) tem a propriedade u+(0,0,0)=u para todo u, logo é o elemento neutro aditivo.
Inverso aditivo: Para u=(r,g,b) o inverso é -u=(-r,-g,-b), pois u+(-u)=(0,0,0).
Comutatividade e associatividade da adição: Para qualquer u,v,w a igualdade componente-a-componente segue de que a soma em \mathbb{R} é comutativa e associativa; por exemplo
(u+v)_1 = r_1+r_2 = r_2+r_1 = (v+u)_1,
e o mesmo vale para as outras componentes, portanto u+v=v+u. Mesma ideia para associatividade.
Distributividades e compatibilidade escalar: Por exemplo,
\alpha(u+v)=(\alpha(r_1+r_2),\dots)=(\alpha r_1+\alpha r_2,\dots)=\alpha u+\alpha v,
porque em cada componente valem as identidades distributivas em \mathbb{R}. As demais propriedades (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u, (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u) e 1\cdot u=u também seguem componente-a-componente da aritmética em \mathbb{R}.
Como todos os axiomas são satisfeitos, a conclusão é que o conjunto com essas operações é realmente um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 4

Resumo e interpretação prática: O conjunto das cores RGB com operações componente-a-componente é exatamente o mesmo que o espaço \mathbb{R}^3 (é o mesmo conjunto com as mesmas operações). Em linguagem técnica, é isomorfo (na verdade idêntico, por construção) a \mathbb{R}^3. Isso já resolve a parte (a): a resposta é afirmativa.

Passo 5

Agora vamos construir uma base — primeiro a base mais óbvia e a que quase sempre aparece em prova.
Base padrão (primeira base). Defina
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
Explico por que é base:
  • Gera (span): qualquer vetor (r,g,b) pode ser escrito como combinação linear
(r,g,b)=r\,e_1 + g\,e_2 + b\,e_3,
logo o conjunto \{e_1,e_2,e_3\} gera todo o espaço.
  • Linearmente independente: se
\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3=(0,0,0),
isso dá sistema componente-a-componente \alpha=0,\\ \beta=0,\\ \gamma=0. Portanto os coeficientes são todos zero, logo são linearmente independentes.
Portanto \{e_1,e_2,e_3\} é uma base.

Passo 6

Agora vou apresentar uma segunda base distinta (para mostrar que bases não são únicas) e provar que ela realmente funciona.
Escolho os vetores
v_1=(1,1,0),\qquad v_2=(0,1,1),\qquad v_3=(1,0,1).
Quero provar que \{v_1,v_2,v_3\} é base, ou seja: gera e é linearmente independente. Uma maneira prática e curta é montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e a matriz é invertível, então geram todo \mathbb{R}^3.
Monte a matriz (colunas são v_1,v_2,v_3):
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calcule o determinante de M (faço passo a passo):
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
Logo
\det(M)=1-0+1=2\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, por terem três vetores em \mathbb{R}^3, também geram todo o espaço. Portanto \{v_1,v_2,v_3\} é uma base distinta da base padrão.
Observação prática: outra base trivial seria \{(255,0,0),(0,255,0),(0,0,255)\} — é só a base padrão escalada por 255; ainda é uma base, porque multiplicar cada vetor de uma base por escalares não-nulos dá outro conjunto linearmente independente que gera (mas essa é muito similar à padrão). A base que apresentei com v_1,v_2,v_3 é genuinamente diferente (componentes misturadas).]

Passo 7

Agora a dimensão. Definição prática: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base (todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de elementos).
Já encontramos uma base com exatamente três vetores: \{e_1,e_2,e_3\}. Isso mostra que existe uma base com 3 elementos, logo a dimensão é um número menor ou igual a 3. Por outro lado, não é possível ter uma base com menos de 3 vetores porque então esses vetores gerariam um subespaço de dimensão menor (uma reta ou um plano) e não poderiam representar vetores que são linearmente independentes em número 3 (por exemplo e_1,e_2,e_3 são três vetores linearmente independentes). Formalizando: existe um conjunto de três vetores linearmente independentes, logo qualquer base deve ter pelo menos 3 elementos. Combinando as duas ideias conclui-se que toda base precisa ter exatamente 3 vetores.
Portanto a dimensão do espaço é 3.

Resposta

(a) Sim.
(b) \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\} e \{(1,1,0),\,(0,1,1),\,(1,0,1)\}.
(c) \dim=3.

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