Um pixel é representado pelo vetor ( 120,80,200 ) (valores RGB).
(a) Calcule o novo vetor se o brilho for aumentado em 20 \%.
(b) Qual operação de álgebra linear foi aplicada? Como ela se relaciona com a definição de espaços vetoriais?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: um pixel representado pelo vetor (120,80,200) (componentes RGB).
Pede:
(a) Calcular o novo vetor quando o brilho é aumentado em 20\%.
(b) Dizer qual operação de álgebra linear foi aplicada e como ela se relaciona com a definição de espaços vetoriais.
Observações que vou usar (sem resolver ainda):
Aumentar o brilho em 20\% significa multiplicar cada componente por um fator igual a 1 mais 20\%, ou seja por 1{,}2.
Valores típicos de cor RGB ficam no intervalo [0,255]. Se o resultado ultrapassar 255 seria necessário “clipar” (limitá‑lo) a 255; aqui vou calcular os valores e só depois verificar se precisa de clipagem.
Passo 2
Explicando o conceito matemático que vou usar: multiplicação escalar de um vetor.
Em álgebra linear, um vetor em RGB pode ser visto como um vetor em \mathbb{R}^3. Vou denotar o vetor original por \mathbf{v}, com\mathbf{v} = (v_1,v_2,v_3) = (120,80,200),onde v_1 é o componente vermelho, v_2 o verde e v_3 o azul.
Multiplicação escalar: dado um escalar (número) \alpha\in\mathbb{R} e um vetor \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3, define‑se\alpha\mathbf{v} = (\alpha v_1,\;\alpha v_2,\;\alpha v_3).Aqui cada componente do vetor é multiplicada por \alpha. Essa é a operação que normalmente modela um aumento ou diminuição de brilho quando feita uniformemente nas três componentes.
Vou usar isso com \alpha = 1{,}2 (aumentar em 20\%).
Passo 3
Cálculo explícito componente a componente (mostrando as contas de um jeito que dá para fazer à mão na prova).
Agora verifico a questão do intervalo [0,255]: todos os valores calculados (144, 96, 240) estão dentro de [0,255], então não é necessário fazer clipagem neste caso.
Passo 4
Responder claramente a parte (a) com interpretação final do cálculo.
A operação que modeleia “aumentar o brilho em 20\%” aplicada uniformemente é multiplicação escalar por \alpha=1{,}2.
Aplicando esse escalar ao vetor (120,80,200) obtém‑se (144,96,240), que está dentro do intervalo permitido [0,255] e, portanto, é o resultado final sem necessidade de truncamento.
Passo 5
Explicando didaticamente a parte (b): qual operação de álgebra linear foi aplicada.
A operação é multiplicação escalar: \mathbf{v}\mapsto \alpha\mathbf{v} com \alpha=1{,}2.
Alternativa matricial: isso também pode ser visto como multiplicação por uma matriz diagonal igual a \alpha vezes a matriz identidade. Ou seja, se I é a matriz identidade 3\times3, a transformação linear éT(\mathbf{v}) = \alpha I\,\mathbf{v}.A matriz \alpha I é \begin{pmatrix}\alpha&0&0\\[2pt]0&\alpha&0\\[2pt]0&0&\alpha\end{pmatrix}.]
Passo 6
Relacionando isso à definição de espaço vetorial (explicação passo a passo e intuitiva).
Um espaço vetorial sobre \mathbb{R} (como \mathbb{R}^3) é um conjunto de vetores com duas operações: soma de vetores e multiplicação por escalares, satisfazendo várias propriedades (fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, distributividade etc.).
A operação aplicada (multiplicação por \alpha) é exatamente uma das operações exigidas pela definição de espaço vetorial: para qualquer \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e qualquer \alpha\in\mathbb{R}, \alpha\mathbf{v} deve pertencer a \mathbb{R}^3 (fechamento).
Propriedades importantes que mostram que esta transformação é linear:T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v}=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),
para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v} e escalar c. Essas equalidades mostram que T é uma transformação linear.
Observação prática: o conjunto real de pixels armazenados em práticas (por exemplo vetores com componentes inteiros em \{0,\dots,255\}) não forma um espaço vetorial porque não é fechado sob multiplicação por escalares reais nem contém todos os escalares (ex.: multiplicar por 1{,}2 pode dar não inteiro ou ultrapassar 255). Por isso, quando se implementa isso em software, costuma‑se fazer clipagem e quantização — operações que quebram a estrutura de espaço vetorial. Mas, matematicamente, se tratarmos as cores como elementos de \mathbb{R}^3, a multiplicação escalar é perfeitamente legítima e linear.
Passo 7
Exemplo rápido extra para fixar: se em vez de 1{,}2 usássemos \alpha=0{,}5 (reduzir o brilho à metade), o resultado seria
0{,}5\cdot(120,80,200)=(60,40,100).
Isto mostra que a mesma operação (multiplicação escalar) reduz ou aumenta intensidade de todas as componentes de forma proporcional.
Resposta
(144,96,240)
Multiplicação escalar por 1{,}2 (operação linear T(\mathbf{v})=1{,}2\,\mathbf{v}; em termos matriciais, \alpha I com \alpha=1{,}2).