1. Um pixel é representado pelo vetor ( 120,80,200 ) (valores RGB).
    (a) Calcule o novo vetor se o brilho for aumentado em 20 \%.
    (b) Qual operação de álgebra linear foi aplicada? Como ela se relaciona com a definição de espaços vetoriais?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: um pixel representado pelo vetor (120,80,200) (componentes RGB).
  • Pede:
    (a) Calcular o novo vetor quando o brilho é aumentado em 20\%.
    (b) Dizer qual operação de álgebra linear foi aplicada e como ela se relaciona com a definição de espaços vetoriais.
Observações que vou usar (sem resolver ainda):
  • Aumentar o brilho em 20\% significa multiplicar cada componente por um fator igual a 1 mais 20\%, ou seja por 1{,}2.
  • Valores típicos de cor RGB ficam no intervalo [0,255]. Se o resultado ultrapassar 255 seria necessário “clipar” (limitá‑lo) a 255; aqui vou calcular os valores e só depois verificar se precisa de clipagem.

Passo 2

Explicando o conceito matemático que vou usar: multiplicação escalar de um vetor.
  • Em álgebra linear, um vetor em RGB pode ser visto como um vetor em \mathbb{R}^3. Vou denotar o vetor original por \mathbf{v}, com \mathbf{v} = (v_1,v_2,v_3) = (120,80,200),onde v_1 é o componente vermelho, v_2 o verde e v_3 o azul.
  • Multiplicação escalar: dado um escalar (número) \alpha\in\mathbb{R} e um vetor \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3, define‑se \alpha\mathbf{v} = (\alpha v_1,\;\alpha v_2,\;\alpha v_3).Aqui cada componente do vetor é multiplicada por \alpha. Essa é a operação que normalmente modela um aumento ou diminuição de brilho quando feita uniformemente nas três componentes.
Vou usar isso com \alpha = 1{,}2 (aumentar em 20\%).

Passo 3

Cálculo explícito componente a componente (mostrando as contas de um jeito que dá para fazer à mão na prova).
  • Fator de escala: \alpha = 1{,}2.
  • Componente vermelha: 120\cdot 1{,}2 = 120\cdot \frac{6}{5} = \frac{120}{5}\cdot 6 = 24\cdot 6 = 144.
  • Componente verde: 80\cdot 1{,}2 = 80\cdot \frac{6}{5} = \frac{80}{5}\cdot 6 = 16\cdot 6 = 96.
  • Componente azul: 200\cdot 1{,}2 = 200\cdot \frac{6}{5} = \frac{200}{5}\cdot 6 = 40\cdot 6 = 240.
Portanto o vetor resultante é (144,96,240).
Agora verifico a questão do intervalo [0,255]: todos os valores calculados ( 144, 96, 240) estão dentro de [0,255], então não é necessário fazer clipagem neste caso.

Passo 4

Responder claramente a parte (a) com interpretação final do cálculo.
  • A operação que modeleia “aumentar o brilho em 20\%” aplicada uniformemente é multiplicação escalar por \alpha=1{,}2.
  • Aplicando esse escalar ao vetor (120,80,200) obtém‑se (144,96,240), que está dentro do intervalo permitido [0,255] e, portanto, é o resultado final sem necessidade de truncamento.

Passo 5

Explicando didaticamente a parte (b): qual operação de álgebra linear foi aplicada.
  • A operação é multiplicação escalar: \mathbf{v}\mapsto \alpha\mathbf{v} com \alpha=1{,}2.
  • Alternativa matricial: isso também pode ser visto como multiplicação por uma matriz diagonal igual a \alpha vezes a matriz identidade. Ou seja, se I é a matriz identidade 3\times3, a transformação linear é T(\mathbf{v}) = \alpha I\,\mathbf{v}.A matriz \alpha I é \begin{pmatrix}\alpha&0&0\\[2pt]0&\alpha&0\\[2pt]0&0&\alpha\end{pmatrix}.]

Passo 6

Relacionando isso à definição de espaço vetorial (explicação passo a passo e intuitiva).
  • Um espaço vetorial sobre \mathbb{R} (como \mathbb{R}^3) é um conjunto de vetores com duas operações: soma de vetores e multiplicação por escalares, satisfazendo várias propriedades (fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, distributividade etc.).
  • A operação aplicada (multiplicação por \alpha) é exatamente uma das operações exigidas pela definição de espaço vetorial: para qualquer \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e qualquer \alpha\in\mathbb{R}, \alpha\mathbf{v} deve pertencer a \mathbb{R}^3 (fechamento).
  • Propriedades importantes que mostram que esta transformação é linear: T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v}=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),
T(c\mathbf{v})=\alpha(c\mathbf{v})=(\alpha c)\mathbf{v}=c(\alpha\mathbf{v})=c\,T(\mathbf{v}),
para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v} e escalar c. Essas equalidades mostram que T é uma transformação linear.
  • Observação prática: o conjunto real de pixels armazenados em práticas (por exemplo vetores com componentes inteiros em \{0,\dots,255\}) não forma um espaço vetorial porque não é fechado sob multiplicação por escalares reais nem contém todos os escalares (ex.: multiplicar por 1{,}2 pode dar não inteiro ou ultrapassar 255). Por isso, quando se implementa isso em software, costuma‑se fazer clipagem e quantização — operações que quebram a estrutura de espaço vetorial. Mas, matematicamente, se tratarmos as cores como elementos de \mathbb{R}^3, a multiplicação escalar é perfeitamente legítima e linear.

Passo 7

Exemplo rápido extra para fixar: se em vez de 1{,}2 usássemos \alpha=0{,}5 (reduzir o brilho à metade), o resultado seria
0{,}5\cdot(120,80,200)=(60,40,100).
Isto mostra que a mesma operação (multiplicação escalar) reduz ou aumenta intensidade de todas as componentes de forma proporcional.

Resposta

(144,96,240)
Multiplicação escalar por 1{,}2 (operação linear T(\mathbf{v})=1{,}2\,\mathbf{v}; em termos matriciais, \alpha I com \alpha=1{,}2).

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