1. Um sistema usa um bit de paridade para detectar erros em dados binários. A mensagem original é [ 1,0,1,1 ].
    (a) Adicione um bit de paridade (soma módulo 2) para criar um vetor válido.
    (b) Se o receptor receber [1,0,0,1,1], há erro? Justifique.
    (c) Qual espaço vetorial e operações são usadas nesse problema?

Passo 1

O enunciado dá a mensagem original de 4 bits e pede três coisas:
  • (a) Adicionar um bit de paridade (soma módulo 2) para formar um vetor válido.
  • (b) Verificar se, ao receber [1,0,0,1,1], há erro, e justificar.
  • (c) Dizer qual espaço vetorial e quais operações são usadas no problema.
Informações relevantes fornecidas:
  • Mensagem de dados: [1,0,1,1].
  • A paridade é definida por “soma módulo 2” (ou seja, adição em \mathbb{F}_2, também interpretada como XOR).

Passo 2

Entendendo o bit de paridade (a ideia, passo a passo e sem pular etapas).
  • Queremos um vetor final (codeword) com um bit de paridade adicional tal que a soma de todos os bits seja calculada em módulo 2.
  • Em \mathbb{F}_2 a soma módulo 2 segue a tabela: \begin{array}{c|cc} + & 0 & 1\\\ \hline 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}Essa operação é a mesma que o operador XOR, denotado por \oplus.
  • Seja a mensagem de dados d=(d_1,d_2,d_3,d_4)= (1,0,1,1). Definimos o bit de paridade p como a soma (módulo 2) dos bits de dados: p = d_1 \oplus d_2 \oplus d_3 \oplus d_4.Isso garante que a soma de todos os 5 bits d_1\oplus d_2\oplus d_3\oplus d_4\oplus p = 0 (paridade par), porque s\oplus s=0 em \mathbb{F}_2, onde s=d_1\oplus d_2\oplus d_3\oplus d_4.

Passo 3

Calcular o bit de paridade para a mensagem dada, passo a passo e sem pular contas.
  • Calcular a soma em módulo 2 dos bits de dados: p = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1.
  • Fazer as operações sequenciais (mostrando cada etapa): 1 \oplus 0 = 1, \qquad 1 \oplus 1 = 0, \qquad \text{logo } 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = (1)\oplus 1 \oplus 1 = (1\oplus 1)\oplus 1 = 0 \oplus 1 = 1.Uma forma direta: 1+0+1+1=3 e 3 \bmod 2 = 1, logo p=1.
  • Portanto o bit de paridade é p=1 e o vetor válido (codeword) é (1,0,1,1,1).

Passo 4

Verificar o vetor recebido r=(1,0,0,1,1) para detectar erro (procedimento e interpretação).
  • A verificação de paridade consiste em calcular a soma módulo 2 de todos os bits recebidos e ver se o resultado é 0 (paridade preservada) ou 1 (paridade falhou): s_r = 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1.
  • Calcular passo a passo: 1 \oplus 0 = 1,\quad 1 \oplus 0 = 1,\quad 1 \oplus 1 = 0,\quad 0 \oplus 1 = 1.Ou somando: 1+0+0+1+1=3 e 3 \bmod 2 = 1. Logo s_r=1.
  • Como s_r \neq 0, a verificação de paridade falha — isto é, há erro detectado.
  • Observação importante (limitação do método): o bit de paridade detecta somente se o número de bits alterados é ímpar. Não é possível, com só um bit de paridade, localizar qual bit errou nem detectar erros que alterem um número par de bits (esses passam despercebidos).

Passo 5

Qual espaço vetorial e quais operações são usadas — explicação didática e exemplos simples.
  • O campo de escalares é \mathbb{F}_2=\{0,1\} com aritmética módulo 2.
  • Os vetores de comprimento n formam o espaço vetorial \mathbb{F}_2^n.
    • A mensagem original vive em \mathbb{F}_2^4.
    • Os codewords (mensagem + paridade) vivem em \mathbb{F}_2^5.
  • Operações:
    • Adição de vetores: componente a componente em \mathbb{F}_2. Exemplo: (1,0,1,1,1)\oplus(1,1,0,0,1)=(0,1,1,1,0),porque soma cada componente módulo 2.
    • Multiplicação por escalar a\in\mathbb{F}_2: 0\cdot v = (0,0,\dots,0) e 1\cdot v = v.
  • Essas operações satisfazem os axiomas de espaço vetorial (associatividade, existência de elemento neutro 0, etc.) quando o corpo é \mathbb{F}_2.

Resposta

(a) [1,0,1,1,1]
(b) Sim.
(c) Espaço vetorial \mathbb{F}_2^5 (os codewords); operações: adição componente-a-componente módulo 2 (XOR) e multiplicação escalar por \mathbb{F}_2=\{0,1\}.

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