- Um sistema usa um bit de paridade para detectar erros em dados binários. A mensagem original é [
].
(a) Adicione um bit de paridade (soma módulo 2) para criar um vetor válido.
(b) Se o receptor receber
, há erro? Justifique.
(c) Qual espaço vetorial e operações são usadas nesse problema?
(a) Adicione um bit de paridade (soma módulo 2) para criar um vetor válido.
(b) Se o receptor receber
(c) Qual espaço vetorial e operações são usadas nesse problema?
Passo 1
O enunciado dá a mensagem original de 4 bits e pede três coisas:
- (a) Adicionar um bit de paridade (soma módulo 2) para formar um vetor válido.
- (b) Verificar se, ao receber
, há erro, e justificar. - (c) Dizer qual espaço vetorial e quais operações são usadas no problema.
Informações relevantes fornecidas:
- Mensagem de dados:
. - A paridade é definida por “soma módulo 2” (ou seja, adição em
, também interpretada como XOR).
Passo 2
Entendendo o bit de paridade (a ideia, passo a passo e sem pular etapas).
- Queremos um vetor final (codeword) com um bit de paridade adicional tal que a soma de todos os bits seja calculada em módulo 2.
- Em
a soma módulo 2 segue a tabela: Essa operação é a mesma que o operador XOR, denotado por . - Seja a mensagem de dados
. Definimos o bit de paridade como a soma (módulo 2) dos bits de dados: Isso garante que a soma de todos os 5 bits (paridade par), porque em , onde .
Passo 3
Calcular o bit de paridade para a mensagem dada, passo a passo e sem pular contas.
- Calcular a soma em módulo 2 dos bits de dados:
- Fazer as operações sequenciais (mostrando cada etapa):
Uma forma direta: e , logo . - Portanto o bit de paridade é
e o vetor válido (codeword) é
Passo 4
Verificar o vetor recebido
para detectar erro (procedimento e interpretação).
- A verificação de paridade consiste em calcular a soma módulo 2 de todos os bits recebidos e ver se o resultado é
(paridade preservada) ou (paridade falhou): - Calcular passo a passo:
Ou somando: e . Logo . - Como
, a verificação de paridade falha — isto é, há erro detectado. - Observação importante (limitação do método): o bit de paridade detecta somente se o número de bits alterados é ímpar. Não é possível, com só um bit de paridade, localizar qual bit errou nem detectar erros que alterem um número par de bits (esses passam despercebidos).
Passo 5
Qual espaço vetorial e quais operações são usadas — explicação didática e exemplos simples.
- O campo de escalares é
com aritmética módulo 2. - Os vetores de comprimento
formam o espaço vetorial . - A mensagem original vive em
. - Os codewords (mensagem + paridade) vivem em
.
- A mensagem original vive em
- Operações:
- Adição de vetores: componente a componente em
. Exemplo: porque soma cada componente módulo 2. - Multiplicação por escalar
: e .
- Adição de vetores: componente a componente em
- Essas operações satisfazem os axiomas de espaço vetorial (associatividade, existência de elemento neutro
, etc.) quando o corpo é .
Resposta
(a)
(b) Sim.
(c) Espaço vetorial (os codewords); operações: adição componente-a-componente módulo 2 (XOR) e multiplicação escalar por
.
(b) Sim.
(c) Espaço vetorial