Consulte uma tabela de derivadas e encontre a velocidade instantânea (v(t)=x^prime(t)) e aceleração instantânea (a(t)=v^prime(t)) dos movimentos descritos pelas equações seguintes:
y(t)=R sin omega t
Dica: é provável que você encontre tabela com a derivadas somente das funções cos t e sin t, sem as constantes. Provavelmente, as funções também estarão em termos da variável x, e não da variável t. Você também precisará consultar propriedades da derivada para saber o que fazer com as constantes R e Omega.

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado pede: a gente tem uma função de movimento
y(t)=Rsin(omega t)
e quer achar a velocidade instantânea
v(t)=y'(t)
e a aceleração instantânea
a(t)=v'(t),
Isso faz parte de cálculo diferencial: precisamos saber a tabela de derivadas de seno e cosseno e também a regra da cadeia pra lidar com constantes como e .

Passo 2

Vamos achar y'(t)=Rcdot f'(t), . Primeiro, lembra que se você tem uma constante multiplicando a função, a derivada é a constante vezes a derivada da função:
Seja ddtl[sin(omega t)r] =cos(omega t)cdotomega =omegacos(omega t), , então
v(t)=y'(t)=Rcdotl(omegacos(omega t)r) =R,omegacos(omega t),
Aqui .
Passo seguinte, precisamos da derivada de em relação a , que é . Mas , então usamos a regra da cadeia:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de em relação a é .
Juntando tudo:
Multiplicando pelo :
$$v(t)=y’(t)=R\cdot\bigl(\omega\cos(\omega t)\bigr)
=R,\omega\cos(\omega t),. $$

Passo 3

Agora vamos achar a aceleração v(t)=R,omegacos(omega t), . Já temos
a(t)=ddtl[Romegacos(omega t)r] =Romegacdotddtl[cos(omega t)r],
De novo, ddtl[cos(omega t)r] =-sin(omega t),omega =-omegasin(omega t), é só uma constante multiplicando a(t)=Romegacdotl(-omegasin(omega t)r) =-R,omega^2sin(omega t), . Então
$$a(t)=\frac{d}{dt}\bigl[R\omega\cos(\omega t)\bigr]
=R\omega\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\cos(\omega t)\bigr],. $$
Só falta a derivada de com . Pela tabela de derivadas:
1) .
2) .
Logo
Multiplicando pelo :
$$a(t)=R\omega\cdot\bigl(-\omega\sin(\omega t)\bigr)
=-R,\omega^2\sin(\omega t),. $$

Resposta

v(t)=R ω cos(ω t)
a(t)=−R ω² sin(ω t)

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