Consulte uma tabela de derivadas e encontre a velocidade instantânea
e aceleração instantânea
dos movimentos descritos pelas equações seguintes:
Dica: é provável que você encontre tabela com a derivadas somente das funções
e
, sem as constantes. Provavelmente, as funções também estarão em termos da variável
, e não da variável
. Você também precisará consultar propriedades da derivada para saber o que fazer com as constantes
e
.
Dica: é provável que você encontre tabela com a derivadas somente das funções
Passo 1
Beleza, olha o que o enunciado pede: a gente tem uma função de movimento
e quer achar a velocidade instantânea
e a aceleração instantânea
Isso faz parte de cálculo diferencial: precisamos saber a tabela de derivadas de seno e cosseno e também a regra da cadeia pra lidar com constantes como
Passo 2
Vamos achar
. Primeiro, lembra que se você tem uma constante multiplicando a função, a derivada é a constante vezes a derivada da função:
Seja , então
Seja
Aqui
Passo seguinte, precisamos da derivada de
em relação a
, que é
. Mas
, então usamos a regra da cadeia:
- Derivada de
é . - Derivada de
em relação a é .
Juntando tudo:
Multiplicando pelo
:
$$v(t)=y’(t)=R\cdot\bigl(\omega\cos(\omega t)\bigr)
=R,\omega\cos(\omega t),. $$
Passo 3
Agora vamos achar a aceleração
. Já temos
De novo,
$$a(t)=\frac{d}{dt}\bigl[R\omega\cos(\omega t)\bigr]
=R\omega\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\cos(\omega t)\bigr],. $$
Só falta a derivada de com
. Pela tabela de derivadas:
1) .
2) .
Só falta a derivada de
1)
2)
Logo
Multiplicando pelo
:
$$a(t)=R\omega\cdot\bigl(-\omega\sin(\omega t)\bigr)
=-R,\omega^2\sin(\omega t),. $$
Resposta
v(t)=R ω cos(ω t)
a(t)=−R ω² sin(ω t)
a(t)=−R ω² sin(ω t)