O consumidor de certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de
das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele utilizou uma amostra de tamanho 50, onde 15 eram defeituosas. Qual é a conclusão sobre a suspeita do consumidor com
? Construa um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de
. Qual o significado deste intervalo?
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que um consumidor acha que mais de 20 % dos produtos saem com defeito. Ele pegou uma amostra de 50 unidades e viu 15 defeituosas. Queremos então:
- Testar se realmente a proporção verdadeira
é maior que 0,20, usando nível de significância . - Construir um intervalo de confiança de 95 % para essa proporção.
Para isso vamos usar:
- Teste-z para proporção (hipóteses e estatística de teste).
- Fórmula de intervalo de confiança para proporção
.
Passo 2
Definindo o teste de hipótese:
Aqui a ideia é comparar a proporção observada
com 0,20. Se
estiver muito acima, rejeitamos
.
Passo 3
Calcular a estatística de teste.
- A proporção na amostra é
- Sob
, o erro padrão é
- A estatística
é
No teste unilateral a 5 %, o crítico é
.
Passo 4
Conclusão do teste:
Como , rejeitamos
.
Ou seja, há evidência estatística, a 5 % de nível, de que a proporção real de defeituosos é maior que 20 %.
Como
Ou seja, há evidência estatística, a 5 % de nível, de que a proporção real de defeituosos é maior que 20 %.
Passo 5
Agora o intervalo de confiança de 95 % para
.
- Calculamos o erro padrão usando
:
- O valor crítico para 95 % é
. - Montamos o intervalo:
Ou seja
Passo 6
Significado do intervalo:
Significa que, baseado na amostra, estamos 95 % “confiantes” de que a verdadeira taxa de defeitos está entre 17,3 % e 42,7 %. Isso não quer dizer que haja 95 % de chance de
cair nesse intervalo, mas sim que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo jeito, 95 % dos intervalos gerados conteriam o verdadeiro
.
Significa que, baseado na amostra, estamos 95 % “confiantes” de que a verdadeira taxa de defeitos
Resposta
- No teste, rejeitamos
e concluímos que a proporção de defeitos é significativamente maior que 20 % (nível ). - O intervalo de confiança de 95 % para a proporção é aproximadamente
.