O consumidor de certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 20 % das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele utilizou uma amostra de tamanho 50, onde 15 eram defeituosas. Qual é a conclusão sobre a suspeita do consumidor com alpha=5 %? Construa um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 95 %. Qual o significado deste intervalo?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que um consumidor acha que mais de 20 % dos produtos saem com defeito. Ele pegou uma amostra de 50 unidades e viu 15 defeituosas. Queremos então:
  • Testar se realmente a proporção verdadeira é maior que 0,20, usando nível de significância .
  • Construir um intervalo de confiança de 95 % para essa proporção.
Para isso vamos usar:
  1. Teste-z para proporção (hipóteses e estatística de teste).
  2. Fórmula de intervalo de confiança para proporção .

Passo 2

Definindo o teste de hipótese:
Aqui a ideia é comparar a proporção observada com 0,20. Se estiver muito acima, rejeitamos .

Passo 3

Calcular a estatística de teste.
  1. A proporção na amostra é
hat p = 1550 = 0,30
  1. Sob SE0 = raizp0(1-p0)n = raiz0,20,(1-0,20)50 = raiz0,1650 approx 0,0566 , o erro padrão é
z = hat p - p0SE0 = 0,30 - 0,200,0566 approx 1,77
  1. A estatística é
No teste unilateral a 5 %, o crítico é .

Passo 4

Conclusão do teste:
Como , rejeitamos .
Ou seja, há evidência estatística, a 5 % de nível, de que a proporção real de defeituosos é maior que 20 %.

Passo 5

Agora o intervalo de confiança de 95 % para SEhat p = raizhat p(1-hat p)n = raiz0,30,(1-0,30)50 = raiz0,2150 approx 0,0648 .
  1. Calculamos o erro padrão usando hat p pm z0,025,SEhat p = 0,30 pm 1,96 times 0,0648 approx 0,30 pm 0,127 :
(0,173 ;,; 0,427)
  1. O valor crítico para 95 % é .
  2. Montamos o intervalo:
Ou seja

Passo 6

Significado do intervalo:
Significa que, baseado na amostra, estamos 95 % “confiantes” de que a verdadeira taxa de defeitos está entre 17,3 % e 42,7 %. Isso não quer dizer que haja 95 % de chance de cair nesse intervalo, mas sim que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo jeito, 95 % dos intervalos gerados conteriam o verdadeiro .

Resposta

  1. No teste, rejeitamos e concluímos que a proporção de defeitos é significativamente maior que 20 % (nível ).
  2. O intervalo de confiança de 95 % para a proporção é aproximadamente .

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