1. Uma amostra aleatória de 20 animais de um determinado rebanho, revelou 5 natimortos. Construa um intervalo de 90 \% de confiança para a proporção de natimortos.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória de tamanho n=20 na qual foram observados x=5 natimortos. Queremos construir um intervalo de confiança de 90\% para a proporção verdadeira p de natimortos no rebanho. Vamos usar o método de intervalo de confiança baseado na aproximação normal (método Wald), cuja fórmula é
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{5}{20} = 0{,}25.

Passo 3

Para um nível de confiança de 90\%, temos \alpha = 0{,}10 e
z_{1-\alpha/2} \;=\; z_{0,95} \;=\; 1{,}645,
valor obtido na tabela da distribuição normal padrão.

Passo 4

Calcular o erro‐padrão de \hat p:
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}25\,(1-0{,}25)}{20}} = \sqrt{\frac{0{,}25\cdot0{,}75}{20}} = \sqrt{0{,}009375} \approx 0{,}0968.

Passo 5

Calcular a margem de erro:
\mathrm{ME} = z_{0,95}\,\mathrm{SE} = 1{,}645 \times 0{,}0968 \approx 0{,}1592.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança:
\hat p \pm \mathrm{ME} \;\longrightarrow\; 0{,}25 \pm 0{,}1592 \;\Rightarrow\; \bigl(0{,}25 - 0{,}1592,\;0{,}25 + 0{,}1592\bigr) =\bigl(0{,}0908,\;0{,}4092\bigr).

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para a proporção de natimortos é
\bigl(0{,}0908,\;0{,}4092\bigr).

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