O consumidor de um certo produto acusou o fabricante dizendo que mais de 20,0% das unidades fabricadas apresentavam defeito. Para confirmar sua acusação ele usou uma amostra de tamanho 50 onde 27,0 \% das unidades eram defeituosas. Mostre como o fabricante poderia refutar a acusação, ao nível de 5,0 \% de significância.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos como o fabricante poderia refutar a acusação de que “mais de 20{,}0\% das unidades são defeituosas” ao nível de significância de 5{,}0\%.
Informações dadas:
  • tamanho da amostra: n = 50;
  • proporção amostral de unidades defeituosas: \widehat{p} = 27{,}0\% = 0{,}27;
  • proporção alegada pelo consumidor (valor de referência): p_0 = 20{,}0\% = 0{,}20;
  • nível de significância: \alpha = 5{,}0\% = 0{,}05.

Passo 2

Definimos as hipóteses que representam a acusação do consumidor e a posição que o fabricante quer testar. A acusação é "mais de 20{,}0\%", ou seja, a hipótese alternativa do consumidor seria p>p_0. Para verificar se há evidência suficiente dessa afirmação usamos o teste com:
H_0: p = 0{,}20
H_a: p > 0{,}20
Explicação intuitiva: p é a proporção verdadeira (desconhecida) de unidades defeituosas. O fabricante “refuta” a acusação se a amostra não fornece evidência estatística para rejeitar H_0 em favor de H_a. Em termos práticos: se não rejeitarmos H_0 ao nível \alpha, não há evidência significativa de que p>0{,}20.

Passo 3

Verificamos se podemos usar a aproximação normal para a proporção (teste-z). Condições usuais:
n p_0 \ge 5 \quad\text{e}\quad n(1-p_0) \ge 5.
Calculando:
n p_0 = 50 \cdot 0{,}20 = 10 \quad\text{e}\quad n(1-p_0) = 50 \cdot 0{,}80 = 40.
Como ambos são maiores que 5, a aproximação normal para a distribuição de \widehat{p} é apropriada. Isso significa que podemos usar a estatística-z baseada no erro padrão calculado com p_0.

Passo 4

Apresentamos a estatística de teste e explicamos cada peça:
A estatística-z para testar uma proporção é
z = \frac{\widehat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Onde:
  • \widehat{p} é a proporção observada na amostra (aqui 0{,}27);
  • p_0 é a proporção sob a hipótese nula (aqui 0{,}20);
  • n é o tamanho da amostra (aqui 50);
  • o denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão da proporção sob H_0.
Agora calculamos passo a passo:
Calcule o produto p_0(1-p_0):
p_0(1-p_0) = 0{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}16.
Divida por n:
\dfrac{p_0(1-p_0)}{n} = \dfrac{0{,}16}{50} = 0{,}0032.
Tire a raiz quadrada para obter o erro padrão:
\sqrt{0{,}0032} \approx 0{,}0565685.
Calcule a diferença entre \widehat{p} e p_0:
\widehat{p} - p_0 = 0{,}27 - 0{,}20 = 0{,}07.
Por fim, a estatística:
z = \frac{0{,}07}{0{,}0565685} \approx 1{,}237.

Passo 5

Decidimos pela comparação com a região crítica ou pelo p‑valor.
Método da região crítica:
  • Para um teste à direita com nível \alpha = 0{,}05, o valor crítico da normal padrão é z_{crit} = z_{0{,}95} \approx 1{,}645.
  • Se z \ge z_{crit} rejeitamos H_0. Aqui z \approx 1{,}237 < 1{,}645, portanto não rejeitamos H_0.
Método do p‑valor (mesma conclusão):
  • O p‑valor é a probabilidade, sob H_0, de observar um z tão extremo ou mais extremo na cauda direita:
\text{p‑valor} = 1 - \Phi(z) \quad\text{com } z\approx 1{,}237.
Usando a tabela da normal ou calculadora, \Phi(1{,}237) \approx 0{,}8914, então
\text{p‑valor} \approx 1 - 0{,}8914 = 0{,}1086.
Como \text{p‑valor} \approx 0{,}1086 > \alpha = 0{,}05, não rejeitamos H_0.
Interpretação: o resultado não é estatisticamente significativo ao nível 5{,}0\%; a amostra não fornece evidência suficiente para afirmar que a proporção verdadeira excede 20{,}0\%.

Passo 6

Conclusão prática e como o fabricante usa isso para refutar a acusação:
  • Como o teste não rejeita H_0 ao nível de significância \alpha = 0{,}05, não há evidência estatística suficiente para apoiar a afirmação do consumidor de que mais de 20{,}0\% das unidades são defeituosas.
  • Portanto, com base nesta amostra de n=50 e no critério estatístico adotado, o fabricante pode refutar a acusação no sentido de que a amostra não demonstra, com significância de 5{,}0\%, que a taxa de defeitos seja maior que 20{,}0\%.
Dica prática para a prova (checklist rápido):
  1. Identifique H_0 e H_a de acordo com a acusação (direção do teste).
  2. Verifique condições para aproximação normal: np_0 e n(1-p_0).
  3. Calcule o erro padrão \sqrt{p_0(1-p_0)/n} e a estatística z.
  4. Compare com z_{crit} ou calcule p‑valor e compare com \alpha.
  5. Escreva a conclusão em termos práticos (há ou não evidência suficiente).

Resposta

A estatística de teste é z\approx 1{,}237 e o p‑valor \approx 0{,}1086>0{,}05; logo não rejeitamos H_0 e não há evidência suficiente, ao nível de 5{,}0\%, para afirmar que a proporção é maior que 20{,}0\%. Portanto o fabricante pode refutar a acusação.

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