O consumidor de um certo produto acusou o fabricante dizendo que mais de 20,0% das unidades fabricadas apresentavam defeito. Para confirmar sua acusação ele usou uma amostra de tamanho 50 onde
das unidades eram defeituosas. Mostre como o fabricante poderia refutar a acusação, ao nível de
de significância.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos como o fabricante poderia refutar a acusação de que “mais de
das unidades são defeituosas” ao nível de significância de
.
Informações dadas:
- tamanho da amostra:
; - proporção amostral de unidades defeituosas:
; - proporção alegada pelo consumidor (valor de referência):
; - nível de significância:
.
Passo 2
Definimos as hipóteses que representam a acusação do consumidor e a posição que o fabricante quer testar. A acusação é "mais de
", ou seja, a hipótese alternativa do consumidor seria
. Para verificar se há evidência suficiente dessa afirmação usamos o teste com:
Explicação intuitiva:
é a proporção verdadeira (desconhecida) de unidades defeituosas. O fabricante “refuta” a acusação se a amostra não fornece evidência estatística para rejeitar
em favor de
. Em termos práticos: se não rejeitarmos
ao nível
, não há evidência significativa de que
.
Passo 3
Verificamos se podemos usar a aproximação normal para a proporção (teste-z). Condições usuais:
Calculando:
Como ambos são maiores que
, a aproximação normal para a distribuição de
é apropriada. Isso significa que podemos usar a estatística-z baseada no erro padrão calculado com
.
Passo 4
Apresentamos a estatística de teste e explicamos cada peça:
A estatística-z para testar uma proporção é
A estatística-z para testar uma proporção é
Onde:
-
é a proporção observada na amostra (aqui ); -
é a proporção sob a hipótese nula (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); - o denominador
é o erro padrão da proporção sob .
Agora calculamos passo a passo:
Calcule o produto :
Calcule o produto
Divida por
:
Tire a raiz quadrada para obter o erro padrão:
Calcule a diferença entre
e
:
Por fim, a estatística:
Passo 5
Decidimos pela comparação com a região crítica ou pelo p‑valor.
Método da região crítica:
- Para um teste à direita com nível
, o valor crítico da normal padrão é . - Se
rejeitamos . Aqui , portanto não rejeitamos .
Método do p‑valor (mesma conclusão):
- O p‑valor é a probabilidade, sob
, de observar um tão extremo ou mais extremo na cauda direita:
Usando a tabela da normal ou calculadora,
, então
Como
, não rejeitamos
.
Interpretação: o resultado não é estatisticamente significativo ao nível
; a amostra não fornece evidência suficiente para afirmar que a proporção verdadeira excede
.
Passo 6
Conclusão prática e como o fabricante usa isso para refutar a acusação:
- Como o teste não rejeita
ao nível de significância , não há evidência estatística suficiente para apoiar a afirmação do consumidor de que mais de das unidades são defeituosas. - Portanto, com base nesta amostra de
e no critério estatístico adotado, o fabricante pode refutar a acusação no sentido de que a amostra não demonstra, com significância de , que a taxa de defeitos seja maior que .
Dica prática para a prova (checklist rápido):
- Identifique
e de acordo com a acusação (direção do teste). - Verifique condições para aproximação normal:
e . - Calcule o erro padrão
e a estatística . - Compare com
ou calcule p‑valor e compare com . - Escreva a conclusão em termos práticos (há ou não evidência suficiente).
Resposta
A estatística de teste é
e o p‑valor
; logo não rejeitamos
e não há evidência suficiente, ao nível de
, para afirmar que a proporção é maior que
. Portanto o fabricante pode refutar a acusação.