A porcentagem de titânio em uma liga metálica é medida em 51 peças selecionadas aleatoriamente, fornecendo uma variância igual a 0,1369 . Teste a hipótese
contra
, ao nível de
de significância.
Passo 1
O enunciado pede que a gente teste, ao nível de significância de
, se a variância da porcentagem de titânio na liga é maior do que
. As informações fornecidas são:
peças (tamanho da amostra),
(variância amostral obtida),
e a hipótese nula fixa .
A hipótese alternativa é unilateral para valores maiores, isto é, quer-se verificar se a variância verdadeira é maior que .
e a hipótese nula fixa
A hipótese alternativa é unilateral para valores maiores, isto é, quer-se verificar se a variância verdadeira é maior que
Passo 2
Escolhemos o teste qui‑quadrado para variância porque, quando a amostra vem de uma população normalmente distribuída (pressuposto padrão para esse teste) e queremos testar hipóteses sobre a variância, a estatística
segue, sob
, a distribuição
com
graus de liberdade. Vou explicar cada peça dessa fórmula:
-
é o tamanho da amostra. Aqui . -
é a variância amostral (isto é, a estimativa da variância baseada nos dados). Aqui . -
é o valor da variância sob hipótese nula, isto é, o valor que estamos testando — aqui . - O fator
aparece porque a variância amostral é calculada com no denominador (graus de liberdade).
Intuição: se a verdadeirafor igual a , então a razão acima tem uma distribuição conhecida ( ) e podemos comparar o valor observado com quantis dessa distribuição. Como é do tipo , tratamos de um teste unilateral à direita: rejeitamos se observada for grande demais.
Passo 3
Calculemos os parâmetros numéricos do teste:
Os valores numéricos conhecidos são
e
.
Passo 4
Calculemos a estatística de teste passo a passo.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora divida por
. Como
, dividir por
é multiplicar por
:
Portanto a estatística observada é
.
Passo 5
Agora precisamos do valor crítico para um teste unilateral à direita com nível de significância
e
graus de liberdade. Esse valor crítico é o quantil
. Consultando a tabela da distribuição qui‑quadrado (ou software), obtemos aproximadamente
A regra de decisão é: rejeitar
se
.
Passo 6
Comparemos os valores:
é bem maior que o crítico
. Logo, a estatística cai na região de rejeição. Conclusão do teste: rejeitamos
ao nível de
.
Interpretação em palavras: há evidência estatística, ao nível de , de que a variância da porcentagem de titânio na liga é maior do que
. Dito de forma encorajadora: os dados indicam variabilidade maior do que o valor proposto sob
.
Interpretação em palavras: há evidência estatística, ao nível de
Passo 7
Se quiser um p‑valor aproximado, calculamos
. Usando aproximação normal da qui‑quadrado (média
, desvio‑padrão
) temos
, o que dá um p‑valor extremamente pequeno (praticamente zero para nossos propósitos), isto é, muito menor que
. Portanto a rejeição é contundente.
Resposta
Rejeita‑se
. Há evidência ao nível de
de que
.