A porcentagem de titânio em uma liga metálica é medida em 51 peças selecionadas aleatoriamente, fornecendo uma variância igual a 0,1369 . Teste a hipótese \mathrm{H}_{0}: \sigma^{2}=0,0625 contra \mathrm{H}_{\mathrm{a}}: \sigma^{2}>0,0625, ao nível de 5,0 \% de significância.

Passo 1

O enunciado pede que a gente teste, ao nível de significância de 5{,}0\%, se a variância da porcentagem de titânio na liga é maior do que 0{,}0625. As informações fornecidas são:
\;n=51 peças (tamanho da amostra),
\;s^{2}=0{,}1369 (variância amostral obtida),
e a hipótese nula fixa \sigma^{2}_{0}=0{,}0625.
A hipótese alternativa é unilateral para valores maiores, isto é, quer-se verificar se a variância verdadeira é maior que 0{,}0625.

Passo 2

Escolhemos o teste qui‑quadrado para variância porque, quando a amostra vem de uma população normalmente distribuída (pressuposto padrão para esse teste) e queremos testar hipóteses sobre a variância, a estatística
\chi^{2}=\frac{(n-1)\,s^{2}}{\sigma^{2}_{0}}
segue, sob \mathrm{H}_{0}, a distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade. Vou explicar cada peça dessa fórmula:
  • \;n é o tamanho da amostra. Aqui \;n=51.
  • \;s^{2} é a variância amostral (isto é, a estimativa da variância baseada nos dados). Aqui \;s^{2}=0{,}1369.
  • \;\sigma^{2}_{0} é o valor da variância sob hipótese nula, isto é, o valor que estamos testando — aqui \;0{,}0625.
  • O fator (n-1) aparece porque a variância amostral é calculada com n-1 no denominador (graus de liberdade).
    Intuição: se a verdadeira \sigma^{2} for igual a \sigma^{2}_{0}, então a razão acima tem uma distribuição conhecida ( \chi^{2}) e podemos comparar o valor observado com quantis dessa distribuição. Como \mathrm{H}_{\mathrm{a}} é do tipo \sigma^{2}>\sigma^{2}_{0}, tratamos de um teste unilateral à direita: rejeitamos \mathrm{H}_{0} se \chi^{2} observada for grande demais.

Passo 3

Calculemos os parâmetros numéricos do teste:
n=51\quad\Rightarrow\quad\text{graus de liberdade } \nu=n-1=50.
Os valores numéricos conhecidos são \;s^{2}=0{,}1369 e \;\sigma^{2}_{0}=0{,}0625.

Passo 4

Calculemos a estatística de teste passo a passo.
Primeiro calcule (n-1)\,s^{2}:
(n-1)\,s^{2}=50\times 0{,}1369=6{,}845.
Agora divida por \sigma^{2}_{0}=0{,}0625. Como 0{,}0625=\tfrac{1}{16}, dividir por 0{,}0625 é multiplicar por 16:
\chi^{2}_{\text{obs}}=\frac{6{,}845}{0{,}0625}=6{,}845\times 16=109{,}52.
Portanto a estatística observada é \chi^{2}_{\text{obs}}=109{,}52.

Passo 5

Agora precisamos do valor crítico para um teste unilateral à direita com nível de significância \alpha=0{,}05 e \nu=50 graus de liberdade. Esse valor crítico é o quantil \chi^{2}_{\nu,\,1-\alpha}=\chi^{2}_{50,\,0{,}95}. Consultando a tabela da distribuição qui‑quadrado (ou software), obtemos aproximadamente
\chi^{2}_{50,\,0{,}95}\approx 67{,}505.
A regra de decisão é: rejeitar \mathrm{H}_{0} se \chi^{2}_{\text{obs}}>\chi^{2}_{50,\,0{,}95}.

Passo 6

Comparemos os valores: \chi^{2}_{\text{obs}}=109{,}52 é bem maior que o crítico 67{,}505. Logo, a estatística cai na região de rejeição. Conclusão do teste: rejeitamos \mathrm{H}_{0} ao nível de 5{,}0\%.
Interpretação em palavras: há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a variância da porcentagem de titânio na liga é maior do que 0{,}0625. Dito de forma encorajadora: os dados indicam variabilidade maior do que o valor proposto sob \mathrm{H}_{0}.

Passo 7

Se quiser um p‑valor aproximado, calculamos p=\Pr(\chi^{2}_{50}\ge 109{,}52). Usando aproximação normal da qui‑quadrado (média =50, desvio‑padrão =\sqrt{2\nu}=\sqrt{100}=10) temos z\approx(109{,}52-50)/10=5{,}952, o que dá um p‑valor extremamente pequeno (praticamente zero para nossos propósitos), isto é, muito menor que 0{,}05. Portanto a rejeição é contundente.

Resposta

Rejeita‑se \mathrm{H}_{0}. Há evidência ao nível de 5\% de que \sigma^{2}>0{,}0625.

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