A disk drive manufacturer sells storage devices with capacities of one terabyte, 500 gigabytes, and 100 gigabytes with probabilities 0.5,0.3, and 0.2 , respectively. The revenues associated with the sales in that year are estimated to be \ 50 million,$25 million, and$ 10 million, respectively. LetX denote the revenue of storage devices during that year. Determine the probability mass function ofX$.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a função massa de probabilidade (pmf) de X, onde X é a receita da venda de dispositivos naquele ano.
Informações dadas:

\bullet Capacidade de \,1 terabyte: probabilidade de venda 0,5.
\bullet Capacidade de \,500 gigabytes: probabilidade de venda 0,3.
\bullet Capacidade de \,100 gigabytes: probabilidade de venda 0,2.

\bullet Receitas associadas (estimadas): \$50 milhões quando vendem o de 1 terabyte, \$25 milhões quando vendem o de 500 gigabytes, e \$10 milhões quando vendem o de 100 gigabytes.

Portanto X só pode assumir três valores: \$50 milhões, \$25 milhões e \$10 milhões. A tarefa é associar a cada um desses valores a probabilidade adequada.

Passo 2

O que é pmf e como usaremos aqui.
Explicação didática: uma variável aleatória discreta X tem função massa de probabilidade (pmf) p_X definida por
p_X(x)=P(X=x),
ou seja, para cada valor possível x de X damos a probabilidade de X ser exatamente x. No nosso caso os possíveis valores de X são as três quantias de receita dadas; então precisamos apenas identificar qual probabilidade corresponde a cada quantia.

Passo 3

Mapeamento valor ↔ evento.
Cada capacidade tem uma receita associada conforme o enunciado. Vou escrever explicitamente:

\bullet Se for vendido o dispositivo de 1 terabyte, a receita é \$50 milhões. O enunciado diz que isso ocorre com probabilidade 0,5. Logo neste caso X=\$50 milhões com probabilidade 0,5.

\bullet Se for vendido o dispositivo de 500 gigabytes, a receita é \$25 milhões. Isso ocorre com probabilidade 0,3. Logo X=\$25 milhões com probabilidade 0,3.

\bullet Se for vendido o dispositivo de 100 gigabytes, a receita é \$10 milhões. Isso ocorre com probabilidade 0,2. Logo X=\$10 milhões com probabilidade 0,2.

Passo 4

Formalizando a pmf.
Usando a definição p_X(x)=P(X=x) e o mapeamento do passo anterior, podemos escrever diretamente as probabilidades para cada valor de X. É bom também checar que as probabilidades somam 1:
0,5+0,3+0,2=1.
Tudo consistente.

Passo 5

Apresentação final da função massa de probabilidade (pmf) de forma clara e pronta para a prova.
A pmf é dada por atribuir a cada valor de receita a probabilidade correspondente conforme listado no passo anterior.

Resposta

P\bigl(X=\$50\\ \text{million}\bigr)=0,5
P\bigl(X=\$25\\ \text{million}\bigr)=0,3
P\bigl(X=\$10\\ \text{million}\bigr)=0,2

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