Se o consumidor possui uma função de utilidade u(x1, x2) = x1 x2 ^4, que fração da renda dele será gasta no bem 2?

Passo 1

O enunciado diz que o consumidor tem utilidade
u(x1,x2) = x1,x2^4
e enfrenta a restrição orçamentária
p1x1 + p2x2 = m,
onde p1 e p2 são os preços dos bens 1 e 2, e m é a sua renda.
Queremos achar a fração da renda gasta no bem 2, isto é, p2x2^*m, onde (x1^*,x2^*) são as demandas ótimas.

Passo 2

Vamos montar a Lagrangiana
L(x1,x2,lambda) = x1,x2^4 ;+;lambdal(m - p1x1 - p2x2r)
As condições de primeira ordem são
partial Lpartial x1 = x2^4 - lambda,p1 = 0 e partial Lpartial x2 = 4,x1,x2^3 - lambda,p2 = 0

Passo 3

Das duas condições obtemos
lambda = x2^4p1 e lambda = 4,x1,x2^3p2
Igualando-as:
x2^4p1 = 4,x1,x2^3p2 ;Longrightarrow; x2,p2 = 4,x1,p1 ;Longrightarrow; x1 = p24,p1,x2
Substituindo na restrição orçamentária:
p1,p24,p1,x2 + p2,x2 = m ;Longrightarrow; p24,x2 + p2,x2 = m ;Longrightarrow; 5,p24,x2 = m ;Longrightarrow; x2^* = 4,m5,p2

Passo 4

O gasto ótimo no bem 2 é
p2,x2^* = p2,4,m5,p2 = 4,m5
Logo a fração da renda gasta no bem 2 é
p2,x2^*m = 4,m/5m = 45

Resposta

A fração da renda gasta no bem 2 é tfrac45.

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