Consumo de Combustível. Em uma viagem, o combustível restante é dado pela função:
na qual
são os litros restantes após
horas. Qual a taxa de consumo de combustível por hora? Interprete.
Passo 1
O enunciado dá a quantidade de combustível restante em função do tempo:
onde
é o número de litros restantes após
horas. A pergunta é: qual a taxa de consumo de combustível por hora? Peça dupla: (1) encontrar a expressão que dá essa taxa em função de
e (2) interpretar o resultado (o que significa o sinal, como varia com
, e exemplos numéricos).
Passo 2
O que significa “taxa de consumo por hora”?
- É a variação instantânea do combustível restante em relação ao tempo, ou seja, a derivada de
por . - Definição formal (intuição): a derivada é o limite da razão das diferenças:
- Unidades: se
está em litros e em horas, então tem unidades litros por hora . - Observação de interpretação: se
for negativo, o combustível está diminuindo; o consumo positivo em L/h costuma ser dado por .
Passo 3
Como calcular a derivada de uma função polinomial passo a passo (regra que vamos usar):
- Regra do termo constante: a derivada de uma constante é
. - Regra da potência (power rule): se
então . - Regra do coeficiente constante: a derivada de
é .
Aplicando a essas regras ao nosso:
- A derivada de
é . - A derivada de
é vezes a derivada de . Pela regra da potência, . Portanto
Passo 4
Resultado da derivação: a taxa de variação instantânea do combustível é
Isto significa que a quantidade de litros restantes está mudando a uma taxa de
L/h no instante
.
Passo 5
Interpretação física e sinal:
- O sinal negativo em
indica que está diminuindo com o tempo (o combustível vai acabando). - A “taxa de consumo” em termos positivos (quantos litros são consumidos por hora) é o valor absoluto da derivada:
- Conclusão: o consumo por hora aumenta linearmente com o tempo (não é constante): quanto mais tempo passa, maior a taxa instantânea de consumo.
Passo 6
Exemplos numéricos para fixar (calculei os valores usando a expressão
):
- Em
horas:
(interessante: no instante inicial a taxa instantânea é zero segundo o modelo)
- Em
horas:
- Em
horas:
Esses exemplos mostram que a taxa de consumo (em módulo) cresce com o tempo.
Passo 7
Resumo prático para a prova (receita rápida):
- Identifique
. - Use a regra da potência e da multiplicação por constante para derivar termo a termo.
- Escreva
com unidades e interprete o sinal (negativo → combustível diminuindo). - Se pedirem “taxa de consumo” como quantidade positiva consumida por hora, devolva
.
Resposta
Taxa de consumo (valor positivo):