Consumo de Combustível. Em uma viagem, o combustível restante é dado pela função:
C(t)=50-0.08 t^{2}
na qual C(t) são os litros restantes após t horas. Qual a taxa de consumo de combustível por hora? Interprete.

Passo 1

O enunciado dá a quantidade de combustível restante em função do tempo:
C(t)=50-0.08\,t^{2},
onde \,C(t)\, é o número de litros restantes após t horas. A pergunta é: qual a taxa de consumo de combustível por hora? Peça dupla: (1) encontrar a expressão que dá essa taxa em função de t e (2) interpretar o resultado (o que significa o sinal, como varia com t, e exemplos numéricos).

Passo 2

O que significa “taxa de consumo por hora”?
  • É a variação instantânea do combustível restante em relação ao tempo, ou seja, a derivada de C por t.
  • Definição formal (intuição): a derivada é o limite da razão das diferenças:
C'(t)=\lim_{h\to0}\frac{C(t+h)-C(t)}{h}.
  • Unidades: se C está em litros e t em horas, então C'(t) tem unidades litros por hora (\text{L/h}).
  • Observação de interpretação: se C'(t) for negativo, o combustível está diminuindo; o consumo positivo em L/h costuma ser dado por -C'(t).

Passo 3

Como calcular a derivada de uma função polinomial passo a passo (regra que vamos usar):
  • Regra do termo constante: a derivada de uma constante é 0.
  • Regra da potência (power rule): se f(t)=t^{n} então f'(t)=n\,t^{n-1}.
  • Regra do coeficiente constante: a derivada de a\cdot g(t) é a\cdot g'(t).
    Aplicando a essas regras ao nosso C(t):
C(t)=50-0.08\,t^{2}.
  • A derivada de 50 é 0.
  • A derivada de -0.08\,t^{2} é -0.08 vezes a derivada de t^{2}. Pela regra da potência, \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t. Portanto
\frac{d}{dt}\big(-0.08\,t^{2}\big)=-0.08\cdot 2t=-0.16\,t.

Passo 4

Resultado da derivação: a taxa de variação instantânea do combustível é
C'(t)=-0.16\,t\quad(\text{litros por hora}).
Isto significa que a quantidade de litros restantes está mudando a uma taxa de -0.16\,t L/h no instante t.

Passo 5

Interpretação física e sinal:
  • O sinal negativo em C'(t) indica que C(t) está diminuindo com o tempo (o combustível vai acabando).
  • A “taxa de consumo” em termos positivos (quantos litros são consumidos por hora) é o valor absoluto da derivada:
\text{consumo}(t) = -C'(t)=0.16\,t\quad(\text{L/h}).
  • Conclusão: o consumo por hora aumenta linearmente com o tempo (não é constante): quanto mais tempo passa, maior a taxa instantânea de consumo.

Passo 6

Exemplos numéricos para fixar (calculei os valores usando a expressão C'(t)=-0.16\,t):
  • Em t=0 horas:
C'(0)=-0.16\cdot 0=0\\ \text{L/h} \quad\Rightarrow\quad \text{consumo}(0)=0{,}00\\ \text{L/h}.
(interessante: no instante inicial a taxa instantânea é zero segundo o modelo)
  • Em t=5 horas:
C'(5)=-0.16\cdot 5=-0.80\\ \text{L/h} \quad\Rightarrow\quad \text{consumo}(5)=0{,}80\\ \text{L/h}.
  • Em t=10 horas:
C'(10)=-0.16\cdot 10=-1{,}6\\ \text{L/h} \quad\Rightarrow\quad \text{consumo}(10)=1{,}6\\ \text{L/h}.
Esses exemplos mostram que a taxa de consumo (em módulo) cresce com o tempo.

Passo 7

Resumo prático para a prova (receita rápida):
  • Identifique C(t).
  • Use a regra da potência e da multiplicação por constante para derivar termo a termo.
  • Escreva C'(t) com unidades e interprete o sinal (negativo → combustível diminuindo).
  • Se pedirem “taxa de consumo” como quantidade positiva consumida por hora, devolva -C'(t).

Resposta

C'(t)=-0.16\,t\\ \text{(L/h)}
Taxa de consumo (valor positivo): -C'(t)=0.16\,t\\ \text{L/h} — interpretação: o combustível diminui, e a taxa de consumo aumenta linearmente com o tempo (por exemplo, 0{,}80 L/h em t=5 h).

Exercícios relacionados