Crescimento de Seguidores no Instagram. Os seguidores do instagram crescem segundo a função:
na qual
é o número de seguidores após
semanas. Qual a taxa de crescimento de seguidores por semana? Interprete.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é o número de seguidores após
semanas. A pergunta é: “Qual a taxa de crescimento de seguidores por semana? Interprete.”
Observações sobre a figura enviada: peguei a figura e ela está vazia/sem informação relevante, então não precisei usar nada da imagem para resolver o problema.
Observações sobre a figura enviada: peguei a figura e ela está vazia/sem informação relevante, então não precisei usar nada da imagem para resolver o problema.
Passo 2
O que significa “taxa de crescimento por semana”? Aqui queremos a variação instantânea do número de seguidores em função do tempo — ou seja, quantos seguidores por semana a conta está ganhando em um dado instante
. Em cálculo, essa variação instantânea é dada pela derivada da função
em relação a
. Definição (intuitiva): a derivada
é o limite da razão de variação média quando a variação de tempo tende a zero:
Essa fórmula diz: pegue o ganho de seguidores em um intervalo pequeno
, divida por
(semanas) e faça
tendência a zero — o resultado é a taxa instantânea, em seguidores por semana.
Passo 3
Regras práticas para derivar (que usaremos aqui):
- A derivada de uma constante é zero. Ex.: se
é constante, então . - Regra do fator constante: se
é constante e função, então . - Regra do poder (power rule): para inteiro
, .
Exemplo rápido para fixar:.
Passo 4
Agora aplicamos as regras à função dada
.
- Derivada do termo constante
é . - Para
, usamos a regra do fator constante e a regra do poder:
Portanto a taxa de crescimento (derivada) é
Unidade:
seguidores por semana
,. Isso quer dizer que
dá quantos seguidores a conta ganha por semana no instante
.
Passo 5
Interpretações e exemplos numéricos para você visualizar:
- Em
semanas: seguidores/semana — ou seja, no instante inicial a velocidade instantânea é zero (há seguidores iniciais, mas a velocidade de aquisição naquele instante é zero). - Em
semana: seguidores/semana. - Em
semanas: seguidores/semana. - Em
semanas: seguidores/semana.
Observação: a taxa aumenta linearmente com o tempo — quanto mais tempo passa, mais rápido os seguidores estão aumentando.
Passo 6
Vou mostrar também a relação entre taxa instantânea e variação média numérica (ajuda a entender na prova): o ganho médio entre
e
é
seguidores por semana. Note que isto é a média de
e
, como costuma acontecer quando a derivada cresce linearmente.
Passo 7
Segunda derivada (opcional, mas útil para interpretar “aceleração”): derivando
obtemos
Isto significa que a taxa de crescimento aumenta a uma velocidade constante de
seguidores por semana a cada semana (unidade: seguidores por semana²). Em palavras: a cada semana que passa, a taxa de ganho de seguidores aumenta em mais
seguidores/semana.
Resposta
Interpretação: no instante