Crescimento de Seguidores no Instagram. Os seguidores do instagram crescem segundo a função:
S(t)=1000+50 t^{2}
na qual S(t) é o número de seguidores após t semanas. Qual a taxa de crescimento de seguidores por semana? Interprete.

Passo 1

O enunciado dá a função
S(t)=1000+50t^{2}
onde \,S(t)\, é o número de seguidores após \,t\, semanas. A pergunta é: “Qual a taxa de crescimento de seguidores por semana? Interprete.”
Observações sobre a figura enviada: peguei a figura e ela está vazia/sem informação relevante, então não precisei usar nada da imagem para resolver o problema.

Passo 2

O que significa “taxa de crescimento por semana”? Aqui queremos a variação instantânea do número de seguidores em função do tempo — ou seja, quantos seguidores por semana a conta está ganhando em um dado instante \,t. Em cálculo, essa variação instantânea é dada pela derivada da função S(t) em relação a t. Definição (intuitiva): a derivada S'(t) é o limite da razão de variação média quando a variação de tempo tende a zero:
S'(t)=\lim_{h\to0}\frac{S(t+h)-S(t)}{h}.
Essa fórmula diz: pegue o ganho de seguidores em um intervalo pequeno \,h, divida por \,h (semanas) e faça \,h tendência a zero — o resultado é a taxa instantânea, em seguidores por semana.

Passo 3

Regras práticas para derivar (que usaremos aqui):
  • A derivada de uma constante é zero. Ex.: se C é constante, então \frac{d}{dt}C = 0.
  • Regra do fator constante: se k é constante e f(t) função, então \frac{d}{dt}\big(k f(t)\big)=k\,f'(t).
  • Regra do poder (power rule): para inteiro n, \frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.
    Exemplo rápido para fixar: \frac{d}{dt}(3t^{4})=3\cdot 4t^{3}=12t^{3}.

Passo 4

Agora aplicamos as regras à função dada \,S(t)=1000+50t^{2}.
  • Derivada do termo constante 1000 é 0.
  • Para 50t^{2}, usamos a regra do fator constante e a regra do poder:
\frac{d}{dt}\big(50t^{2}\big)=50\cdot \frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=50\cdot 2t=100t.
Portanto a taxa de crescimento (derivada) é
S'(t)=100t.
Unidade: seguidores por semana ,. Isso quer dizer que S'(t) dá quantos seguidores a conta ganha por semana no instante t.

Passo 5

Interpretações e exemplos numéricos para você visualizar:
  • Em \,t=0 semanas: \,S'(0)=100\cdot 0=0 seguidores/semana — ou seja, no instante inicial a velocidade instantânea é zero (há 1000 seguidores iniciais, mas a velocidade de aquisição naquele instante é zero).
  • Em \,t=1 semana: \,S'(1)=100\cdot 1=100 seguidores/semana.
  • Em \,t=2 semanas: \,S'(2)=200 seguidores/semana.
  • Em \,t=5 semanas: \,S'(5)=500 seguidores/semana.
Observação: a taxa aumenta linearmente com o tempo — quanto mais tempo passa, mais rápido os seguidores estão aumentando.

Passo 6

Vou mostrar também a relação entre taxa instantânea e variação média numérica (ajuda a entender na prova): o ganho médio entre \,t=1 e \,t=2 é
\frac{S(2)-S(1)}{2-1}=\frac{(1000+50\cdot 2^{2})-(1000+50\cdot 1^{2})}{1}=\frac{(1000+200)-(1000+50)}{1}=\frac{1200-1050}{1}=150
seguidores por semana. Note que isto é a média de S'(1)=100 e S'(2)=200, como costuma acontecer quando a derivada cresce linearmente.

Passo 7

Segunda derivada (opcional, mas útil para interpretar “aceleração”): derivando S'(t)=100t obtemos
S''(t)=100.
Isto significa que a taxa de crescimento aumenta a uma velocidade constante de 100 seguidores por semana a cada semana (unidade: seguidores por semana²). Em palavras: a cada semana que passa, a taxa de ganho de seguidores aumenta em mais 100 seguidores/semana.

Resposta

S'(t)=100t seguidores por semana.
Interpretação: no instante \,t semanas a conta está ganhando 100t seguidores por semana (por exemplo, 100 seguidores/semana em \,t=1, 200 em \,t=2, etc.); a taxa aumenta linearmente com o tempo.

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