Volume de Água na Chuva. A água de chuva acumulada na calha segue:
V(t)=2 t+0.5 t^{2}
sendo V(t) os litros acumulados após t horas de chuva. Calcule a taxa de acúmulo de água por horas. Interprete.

Passo 1

O enunciado dá a função do volume acumulado de água na calha em função do tempo:
V(t)=2t+0,5t^{2}
onde V(t) está em litros e t em horas. As perguntas são: calcular a taxa de acúmulo de água por hora e interpretar esse resultado.

Passo 2

O que significa “taxa de acúmulo por hora”? É a variação instantânea do volume em relação ao tempo, ou seja, a derivada de V em relação a t. Matematicamente, a taxa instantânea é
V'(t)=\frac{dV}{dt}.
Unidade: como V está em litros e t em horas, V'(t) terá unidade litros por hora.

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Constante vezes função: \frac{d}{dt}\big(k\cdot f(t)\big)=k\cdot f'(t), onde k é constante.
  • Regra do poder (power rule): para f(t)=t^{n}, \frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Por exemplo, \frac{d}{dt}t^{2}=2t.

Passo 4

Aplicando as regras passo a passo à função dada:
  • Derivada de \;2t\; em relação a t: como é uma constante multiplicando t, \frac{d}{dt}(2t)=2.
  • Derivada de \;0,5t^{2}\;: usar power rule com a constante 0,5,
\frac{d}{dt}\big(0,5t^{2}\big)=0,5\cdot\frac{d}{dt}(t^{2})=0,5\cdot 2t=1\cdot t.
Somando as duas derivadas (regra da soma), obtemos
V'(t)=2+t.

Passo 5

Interpretação do resultado V'(t)=2+t:
  • Unidade: V'(t) está em litros por hora.
  • Significado: no instante t horas de chuva, a água está se acumulando à razão de 2+t litros por hora.
  • Observações concretas:
    • No começo da chuva ( t=0) a taxa é V'(0)=2+0=2 litros por hora.
    • A cada hora que passa a taxa aumenta em 1 litro por hora (pois o termo +t cresce 1 a cada hora). Ou seja, a intensidade da chuva está aumentando linearmente com o tempo.
    • Exemplo numérico: em t=3 horas, V'(3)=2+3=5 litros por hora — naquele instante o acúmulo cresce a 5 L/h.

Passo 6

Complemento didático (comparando taxa instantânea e média):
  • Taxa média entre t=a e t=b é \dfrac{V(b)-V(a)}{b-a}.
  • Exemplo rápido: entre t=1 e t=3, V(1)=2\cdot1+0,5\cdot1^{2}=2{,}5,\qquad V(3)=2\cdot3+0,5\cdot9=10{,}5,
\text{taxa média}=\frac{10{,}5-2{,}5}{3-1}=\frac{8}{2}=4\\ \text{L/h}.é
A taxa instantânea no meio do intervalo, V'(2)=2+2=4 L/h, coincide aqui porque V'(t) é uma função linear (isso é um efeito prático: para funções polinomiais de grau 2, a média sobre intervalos simétricos pode coincidir com o valor no ponto médio).

Resposta

V'(t)=2+t litros por hora
Interpretação: a taxa instantânea de acúmulo no tempo t é 2+t L/h; no início é 2 L/h e a taxa aumenta em 1 L/h a cada hora.

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