Volume de Água na Chuva. A água de chuva acumulada na calha segue:
sendo
os litros acumulados após
horas de chuva. Calcule a taxa de acúmulo de água por horas. Interprete.
Passo 1
O enunciado dá a função do volume acumulado de água na calha em função do tempo:
onde
está em litros e
em horas. As perguntas são: calcular a taxa de acúmulo de água por hora e interpretar esse resultado.
Passo 2
O que significa “taxa de acúmulo por hora”? É a variação instantânea do volume em relação ao tempo, ou seja, a derivada de
em relação a
. Matematicamente, a taxa instantânea é
Unidade: como
está em litros e
em horas,
terá unidade litros por hora.
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação simples):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Constante vezes função:
, onde é constante. - Regra do poder (power rule): para
, . Por exemplo, .
Passo 4
Aplicando as regras passo a passo à função dada:
- Derivada de
em relação a : como é uma constante multiplicando , . - Derivada de
: usar power rule com a constante ,
Somando as duas derivadas (regra da soma), obtemos
Passo 5
Interpretação do resultado
:
- Unidade:
está em litros por hora. - Significado: no instante
horas de chuva, a água está se acumulando à razão de litros por hora. - Observações concretas:
- No começo da chuva (
) a taxa é litros por hora. - A cada hora que passa a taxa aumenta em
litro por hora (pois o termo cresce 1 a cada hora). Ou seja, a intensidade da chuva está aumentando linearmente com o tempo. - Exemplo numérico: em
horas, litros por hora — naquele instante o acúmulo cresce a 5 L/h.
- No começo da chuva (
Passo 6
Complemento didático (comparando taxa instantânea e média):
- Taxa média entre
e é . - Exemplo rápido: entre
e ,
A taxa instantânea no meio do intervalo,
L/h, coincide aqui porque
é uma função linear (isso é um efeito prático: para funções polinomiais de grau 2, a média sobre intervalos simétricos pode coincidir com o valor no ponto médio).
Resposta
Interpretação: a taxa instantânea de acúmulo no tempo