Questão 2 Determine o domínio da função f(x)=\frac{\sqrt{2 \operatorname{sen}(x)-1}}{x^{4}-6 x^{3}+8 x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x)=\frac{\sqrt{2\sin(x)-1}}{x^{4}-6x^{3}+8x^{2}}.
Para isso precisamos de duas coisas:
  1. O radicando deve ser não–negativo: 2\sin(x)-1\ge0.
  2. O denominador não pode ser zero: x^{4}-6x^{3}+8x^{2}\neq0.

Passo 2

Impondo 2\sin(x)-1\ge0 temos
\sin(x)\ge\frac12.
Sabemos que \sin(x)=\tfrac12 em x=\frac\pi6+2\pi k e x=\frac{5\pi}6+2\pi k. Como \sin(x)\ge\frac12 ocorre entre essas raízes em cada período 2\pi, concluímos
x\in\Bigl[\frac\pi6+2\pi k,\;\frac{5\pi}6+2\pi k\Bigr], \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Agora exigimos
x^{4}-6x^{3}+8x^{2}\neq0.
Fatorando,
x^{4}-6x^{3}+8x^{2} = x^{2}(x-2)(x-4).
Logo as raízes são x=0, x=2 e x=4, que devem ser excluídas.

Passo 4

O domínio é a interseção dos x que satisfazem \sin(x)\ge\tfrac12 com o conjunto \{x\neq0,2,4\}. Observando que 0 e 4 não pertencem a nenhum intervalo \bigl[\tfrac\pi6+2\pi k,\tfrac{5\pi}6+2\pi k\bigr], sobra apenas remover x=2, pois 2\approx2{,}00\in[\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6].

Resposta

\boxed{ \Dom(f) =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl[\tfrac\pi6+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}6+2\pi k\Bigr]\;\setminus\{2\}. }

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