O consumo médio mensal de energia elétrica num certo bairro é aproximadamente uma variável aleatória Normal com média 180 kWh e desvio padrão 60kWh. Calcule as seguintes probabilidades:
De que um domicílio escolhido aleatoriamente tenha consumo médio mensal entre 150 e 250kWh;
De que um domicílio escolhido aleatoriamente tenha consumo médio mensal entre 150 e 250kWh;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre consumo médio mensal de energia elétrica em um bairro. A questão diz que esse consumo segue uma distribuição Normal com média de 180 kWh e desvio padrão de 60 kWh. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de um domicílio escolhido aleatoriamente ter um consumo médio mensal entre 150 e 250 kWh.
Vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição Normal, calcular os z-scores para os valores dados e usar uma tabela da distribuição Normal ou uma calculadora para encontrar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que numa distribuição Normal, os z-scores nos ajudam a padronizar qualquer valor para comparar com a distribuição Normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para calcular o z-score é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos padronizar,
- $ \mu $ é a média da distribuição,
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Passo 3
Vamos calcular o z-score para $ X = 150 $ kWh.
Então, $ z_1 = -0.5 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular o z-score para $ X = 250 $ kWh.
Então, $ z_2 \approx 1.1667 $.
Passo 5
Com os z-scores calculados, queremos encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre -0.5 e 1.1667 na distribuição Normal padrão. Ou seja, queremos $ P(-0.5 \leq Z \leq 1.1667) $.
Para isso, usamos a tabela da distribuição Normal ou uma calculadora que nos dá a probabilidade acumulada até um certo z.
Passo 6
Vamos encontrar as probabilidades individuais:
- $ P(Z \leq -0.5) $: consultando a tabela, isso dá aproximadamente 0.3085.
- $ P(Z \leq 1.1667) $: isso dá aproximadamente 0.8783.
Passo 7
Agora, para encontrar $ P(-0.5 \leq Z \leq 1.1667) $, subtraímos as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de um domicílio escolhido aleatoriamente ter um consumo médio mensal entre 150 e 250 kWh é aproximadamente 56,98%.