Considere 100 doadores escolhidos aleatoriamente de uma população onde a probabilidade de tipo A é 0,40 ? Qual a probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue do tipo A?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a probabilidade de, em 100 doadores aleatórios, pelo menos 43 terem sangue do tipo A. A matéria que vamos usar aqui é a Distribuição Binomial, que ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em n tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p. Nesse caso, n = 100 e p = 0,40.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • Número total de doadores (tentativas), $ n = 100 $
  • Probabilidade de um doador ter sangue tipo A (sucesso), $ p = 0,40 $
  • Queremos saber a probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue tipo A, ou seja, $ P(X \geq 43) $

Passo 3

Para calcular $ P(X \geq 43) $ usando a distribuição binomial diretamente seria complicado, pois envolveria somar muitas probabilidades. Então, vamos usar uma aproximação normal para facilitar. A distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal quando n é grande e p não é muito próximo de 0 ou 1, o que é o nosso caso.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a média ($ \mu mu ã \sigma $) da distribuição binomial:
sigma
mu = n times p = 100 times 0,40 = 40

Passo 5

Agora, vamos padronizar o valor 43 para encontrar o valor z na distribuição normal:
z = X - musigma = 43 - 404,90 approx 0,61

Passo 6

Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a $ z = 0,61 $. A probabilidade de $ Z \leq 0,61 $ é aproximadamente 0,7291. Mas como queremos $ P(X \geq 43) $, precisamos calcular:
z = 0,61

Resposta

A probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue do tipo A é aproximadamente 27,09%.

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