Considere 100 doadores escolhidos aleatoriamente de uma população onde a probabilidade de tipo A é 0,40 ? Qual a probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue do tipo A?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a probabilidade de, em 100 doadores aleatórios, pelo menos 43 terem sangue do tipo A. A matéria que vamos usar aqui é a Distribuição Binomial, que ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em n tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p. Nesse caso, n = 100 e p = 0,40.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
- Número total de doadores (tentativas), $ n = 100 $
- Probabilidade de um doador ter sangue tipo A (sucesso), $ p = 0,40 $
- Queremos saber a probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue tipo A, ou seja, $ P(X \geq 43) $
Passo 3
Para calcular $ P(X \geq 43) $ usando a distribuição binomial diretamente seria complicado, pois envolveria somar muitas probabilidades. Então, vamos usar uma aproximação normal para facilitar. A distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal quando n é grande e p não é muito próximo de 0 ou 1, o que é o nosso caso.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a média ($ \mu
\sigma $) da distribuição binomial:
Passo 5
Agora, vamos padronizar o valor 43 para encontrar o valor z na distribuição normal:
Passo 6
Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a $ z = 0,61 $. A probabilidade de $ Z \leq 0,61 $ é aproximadamente 0,7291. Mas como queremos $ P(X \geq 43) $, precisamos calcular:
Resposta
A probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue do tipo A é aproximadamente 27,09%.