Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estima-se que
desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso, independentes entre si.
Você agora faz um estudo maior, de âmbito nacional, examinando uma amostra aleatória de 1000 tanques. Qual é a probabilidade de pelo menos 275 desses tanques apresentarem vazamento?
Você agora faz um estudo maior, de âmbito nacional, examinando uma amostra aleatória de 1000 tanques. Qual é a probabilidade de pelo menos 275 desses tanques apresentarem vazamento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de vazamento em tanques de gasolina subterrâneos. Sabemos que 25% dos tanques apresentam vazamento. Você quer saber qual a chance de, em uma amostra grande de 1000 tanques, pelo menos 275 terem vazamento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial e sua aproximação normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada tanque tem duas possibilidades: vazar ou não vazar. A probabilidade de um tanque vazar é 25% (ou 0,25) e de não vazar é 75% (ou 0,75). Como estamos examinando 1000 tanques, estamos lidando com um grande número de tentativas independentes.
Passo 3
Como o número de tanques é grande (n = 1000), usar a distribuição binomial diretamente pode ser complicado. Por isso, vamos usar a aproximação normal. Essa aproximação é válida quando n é grande e p não é muito próximo de 0 ou 1, o que é o nosso caso.
Passo 4
Para usar a aproximação normal, precisamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
Passo 5
Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 275 tanques vazarem. Isso significa $ P(X \geq 275) $. Para isso, usamos a correção de continuidade e calculamos o score z:
Agora, consultando a tabela da distribuição normal padrão, um z de 1,96 corresponde a uma probabilidade de 0,975. Mas como queremos $ P(X \geq 275) $, devemos calcular:
Resposta
A probabilidade de pelo menos 275 dos 1000 tanques apresentarem vazamento é aproximadamente 2,5%.