Uma conta bancária ganha juros continuamente a uma taxa de
do saldo atual por ano. Suponha que o depósito inicial seja de
1000$ e que não seja feito nenhum outro deposito ou retirada.
(a) Escreva a equação diferencial satisfeita pelo saldo na conta.
(b) Resolva a equação diferencial.
Dica: A Taxa na qual o saldo cresce
Taxa na qual os juros são ganhos
(Saldo Atual).
(a) Escreva a equação diferencial satisfeita pelo saldo na conta.
(b) Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado trata de um depósito inicial de R$ 1000 numa conta que rende juros compostos continuamente a uma taxa de 5 % ao ano. O objetivo é (a) formular a equação diferencial que descreve a evolução do saldo
e (b) resolver essa equação sujeita à condição inicial
. Vamos usar o modelo de crescimento exponencial por juros contínuos, que leva a uma ODE de primeira ordem de separação de variáveis.
Passo 2
A taxa de variação do saldo é igual aos juros ganhos por unidade de tempo. Como os juros são 5 % do saldo atual, escrevemos:
Passo 3
Para resolver por separação de variáveis, colocamos todos os termos em
num lado e em
no outro:
Integramos:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
com
.
Passo 4
Impondo a condição inicial
, obtemos
logo
e
Resposta
(a)
(b)
(b)