Uma conta bancária ganha juros continuamente a uma taxa de 5 \% do saldo atual por ano. Suponha que o depósito inicial seja de R \ 1000$ e que não seja feito nenhum outro deposito ou retirada.
(a) Escreva a equação diferencial satisfeita pelo saldo na conta.
(b) Resolva a equação diferencial.
Dica: A Taxa na qual o saldo cresce = Taxa na qual os juros são ganhos =5 \% \times (Saldo Atual).

Passo 1

O enunciado trata de um depósito inicial de R$ 1000 numa conta que rende juros compostos continuamente a uma taxa de 5 % ao ano. O objetivo é (a) formular a equação diferencial que descreve a evolução do saldo S(t) e (b) resolver essa equação sujeita à condição inicial S(0)=1000. Vamos usar o modelo de crescimento exponencial por juros contínuos, que leva a uma ODE de primeira ordem de separação de variáveis.

Passo 2

A taxa de variação do saldo é igual aos juros ganhos por unidade de tempo. Como os juros são 5 % do saldo atual, escrevemos:
\frac{dS}{dt} = 0,05 \,S.

Passo 3

Para resolver por separação de variáveis, colocamos todos os termos em S num lado e em t no outro:
\int \frac{dS}{S} = \int 0,05\,dt.
Integramos:
\ln|S| = 0,05\,t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
S(t) = e^{C}\,e^{0,05\,t} = K\,e^{0,05\,t},
com K = e^{C}.

Passo 4

Impondo a condição inicial S(0)=1000, obtemos
1000 = K\,e^{0{,}05\cdot 0} = K,
logo K=1000 e
S(t) = 1000\,e^{0,05\,t}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dS}{dt} = 0,05\,S.
(b) \displaystyle S(t) = 1000\,e^{0,05\,t}.

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