Resolva equação diferencial dada usando a substituição apropriada
\left(2 x^{3} y\right) d x+\left(x^{4}+y^{4}\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(2x^{3}y\bigr)\,dx+\bigl(x^{4}+y^{4}\bigr)\,dy=0.
Perceba que M(x,y)=2x^3y e N(x,y)=x^4+y^4 são homogêneos do mesmo grau, então vamos usar a substituição y=vx.

Passo 2

Verificamos a homogeneidade de grau 4:
M(tx,ty)=2(tx)^3\,(ty)=t^4\,2x^3y=t^4M(x,y),
N(tx,ty)=(tx)^4+(ty)^4=t^4(x^4+y^4)=t^4N(x,y).
Logo a equação é homogênea.

Passo 3

Escrevemos a equação na forma
\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)} =-\frac{2x^3y}{x^4+y^4}.

Passo 4

Com y=vx temos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{2x^3(vx)}{x^4+(vx)^4} obtemos
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{2v}{1+v^4} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx}=-\frac{v(3+v^4)}{1+v^4}.

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{1+v^4}{v(3+v^4)}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Fazendo frações parciais, chega-se a
\int\frac{1+v^4}{v(3+v^4)}\,dv =\frac{1}{3}\ln|v|+\frac{1}{6}\ln\bigl(v^4+3\bigr)+C_1,
-\int\frac{dx}{x}=-\ln|x|+C_2.

Passo 6

Igualando e absorvendo constantes,
\frac{1}{3}\ln|v|+\frac{1}{6}\ln\bigl(v^4+3\bigr) =-\ln|x|+C.
Multiplicando por 6 e exponenciando,
\ln\bigl(v^2(v^4+3)\bigr)=-6\ln|x|+C' \quad\Longrightarrow\quad v^2(v^4+3)=C\,x^{-6}.
Voltando a v=y/x e simplificando,
\frac{y^2}{x^2}\!\Bigl(\frac{y^4}{x^4}+3\Bigr)=C\,x^{-6} \quad\Longrightarrow\quad y^6+3x^4y^2=C.

Resposta

y^6+3x^4y^2=C,
onde C é a constante de integração.

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