Resolva a equação.
\left(x^{2}-2 y^{-3}\right) d y+\left(2 x y-3 x^{2}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}-2y^{-3}\bigr)\,dy \;+\;\bigl(2xy-3x^{2}\bigr)\,dx \;=\;0
e pede sua solução geral. Este é um caso de equação exata, onde queremos identificar funções M(x,y) e N(x,y) tais que
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
verificar a condição de exatidão \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e então encontrar a função potencial \Psi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo no formato padrão, temos
M(x,y) = 2xy - 3x^{2}, \quad N(x,y) = x^{2} - 2y^{-3}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int \bigl(2xy - 3x^{2}\bigr)\,dx = y\,x^{2} - x^{3} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x^{2} + h'(y)
e comparamos a N(x,y), que vale x^{2}-2y^{-3}. Logo
x^{2} + h'(y) = x^{2} - 2y^{-3} \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -2y^{-3}.
Integrando em y:
h(y) = \int -2y^{-3}\,dy = y^{-2}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi, obtemos a solução implícita
\Psi(x,y) = y\,x^{2} - x^{3} + y^{-2} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^{2}y \;-\; x^{3} \;+\; \frac{1}{y^{2}} = C.

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