O vagão de uma montanha-russa, com massa
, se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano
(
horizontal e
verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por
.
Determine as equações
de Hamilton e mostre que elas concordam com o que você obteria usando o formalismo Newtoniano. [Sugestão: você sabe, da Mecânica Clássica I, que a segunda lei de Newton assume a forma
, onde
é a distância medida ao longo do trilho. Reescreva essa equação como uma equação para
e mostre que você obtém o mesmo resultado a partir das equações de Hamilton.]
Determine as equações
de Hamilton e mostre que elas concordam com o que você obteria usando o formalismo Newtoniano. [Sugestão: você sabe, da Mecânica Clássica I, que a segunda lei de Newton assume a forma
Passo 1
Então, a gente tem um problema envolvendo a física clássica, mais especificamente usando as equações de Hamilton para descrever o movimento de um vagão de montanha-russa. O vagão, com uma massa $ m $, se move ao longo de trilhos que estão no plano $ xy $, onde $ x $ é a direção horizontal e $ y $ é a vertical para cima. A altura do trilho em relação ao solo é dada por $ y = h(x) $.
A gente precisa determinar as equações de Hamilton para esse sistema e mostrar que elas concordam com o que obteríamos usando a abordagem newtoniana. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a formalismo de Hamilton e a segunda lei de Newton aplicada a esse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Hamilton. Elas são um conjunto de equações diferenciais que descrevem a evolução temporal de um sistema físico. Para um sistema com coordenadas generalizadas $ q_i $ e momentos conjugados $ p_i $, as equações de Hamilton são:
onde $ H $ é a função de Hamilton, que geralmente representa a energia total do sistema (energia cinética mais energia potencial).
Passo 3
No nosso caso, a coordenada generalizada pode ser escolhida como $ x $, já que o movimento ocorre ao longo do trilho $ y = h(x) $. Então, vamos considerar $ x $ como a coordenada generalizada $ q $.
A velocidade do vagão na direção $ x $ é $ \dot{x} $, e a velocidade na direção $ y $ é $ \dot{y} $. Como $ y = h(x) $, podemos derivar isso em relação ao tempo para obter:
A energia cinética $ T $ do vagão é dada por:
Simplificando:
A energia potencial $ V $ devido à altura é:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
A função de Hamilton $ H $ é dada por:
Então, substituindo $ T $ e $ V $:
Mas, para as equações de Hamilton, precisamos expressar $ H $ em termos das coordenadas generalizadas $ x $ e dos momentos conjugados $ p_x $.
Passo 5
O momento conjugado $ p_x $ associado à coordenada $ x $ é dado por:
onde $ L = T - V $ é o Lagrangiano.
Calculando o Lagrangiano:
Então, o momento conjugado é:
Passo 6
Agora, expressamos $ \dot{x} $ em termos de $ p_x $:
Substituindo $ \dot{x} $ na expressão para $ H $:
Passo 7
Agora que temos $ H $ em termos de $ x $ e $ p_x $, podemos escrever as equações de Hamilton:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos utilizar a abordagem newtoniana para verificar se obtemos o mesmo resultado. Segundo a segunda lei de Newton ao longo do trilho:
onde $ s $ é a distância ao longo do trilho. Como $ s $ está relacionado a $ x $ por $ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dh}{dx}\right)^2} dx $, temos:
Calculando a derivada:
A força tangente $ F_{tan} $ é a componente da gravidade ao longo do trilho:
Então, a equação de Newton fica:
Simplificando:
Passo 9
Agora, comparando as equações obtidas pelas duas abordagens, vemos que ambas descrevem a mesma dinâmica do sistema. As equações de Hamilton derivadas anteriormente resultam na mesma relação entre $ \ddot{x} $, $ \dot{x} $ e as derivadas de $ h(x) $ que a equação de Newton.
Isso confirma que as equações de Hamilton são consistentes com a abordagem newtoniana para esse sistema específico.
Resposta
As equações de Hamilton para o sistema são:
E essas equações concordam com o que se obtém usando o formalismo newtoniano.