- Conta-se que Newton teria descoberto a lei da gravitação ao lhe cair uma maçã na cabeça. Suponha que Newton tivesse
de altura, estivesse em pé, e que a maçã, de massa
, tivesse se soltado, do repouso, de uma altura de
do solo. Admitindo
e desprezando-se a resistência do ar, determine a energia cinética da maça ao atingir a cabeça de Newton.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a energia cinética da maçã ao atingir a cabeça de Newton. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
Admite-se que a maçã é solta do repouso e que não há resistência do ar. O que se pede: a energia cinética da maçã no instante do impacto com a cabeça de Newton.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Energia potencial gravitacional: para um objeto de massa
colocado a uma altura (medida em relação a uma referência), a energia potencial gravitacional é dada por
onde
é a energia potencial em joules,
é a massa em quilogramas,
é a aceleração da gravidade em
e
é a altura em metros. Esse
é sempre a altura relativa entre dois pontos; aqui usaremos a diferença entre a posição inicial e final da maçã.
- Energia cinética: para um objeto com massa
e velocidade , a energia cinética é
onde
está em joules.
- Conservação da energia mecânica (quando não há forças dissipativas como resistência do ar): a soma da energia potencial e da energia cinética permanece constante. Assim, ao cair a maçã a perda de energia potencial transforma-se em energia cinética.
Explicando em palavras: como não há resistência do ar, a energia que a maçã perde por ter descido uma certa altura vira energia de movimento. Então podemos calcular a energia cinética final encontrando quanto de energia potencial foi perdida.
Passo 3
Aplicando a conservação de energia entre o instante inicial (altura
, repouso) e o instante do impacto (altura
, velocidade
):
onde
é a energia cinética final. Isolando
:
Aqui usei que a energia cinética inicial é zero porque a maçã foi solta do repouso.
Agora calculo a diferença de altura (a “queda” efetiva até a cabeça):
Substituo os valores em
:
primeiro calcule :
primeiro calcule
agora multiplico por
:
Passo 4
Verificação alternativa (mesma resposta, outro caminho): usar a equação da cinemática para achar a velocidade final e depois calcular
.
- Equação que relaciona velocidade e queda livre (partindo do repouso):
Substituindo:
logo
(aproximadamente
). Agora energia cinética:
Como esperado, dá exatamente o mesmo valor de
, confirmando o cálculo anterior.
Passo 5
Interpretação curta e incentivo: a energia cinética ao impacto é relativamente pequena (alguns joules), apesar de a maçã ter velocidade de alguns metros por segundo — é legal ver como pequenas massas e pequenas alturas resultam em energias baixas. Segue tranquilo: o método usado é direto e útil para problemas de queda livre sem resistência do ar.