1. Conta-se que Newton teria descoberto a lei da gravitação ao lhe cair uma maçã na cabeça. Suponha que Newton tivesse 1,70 \mathrm{~m} de altura, estivesse em pé, e que a maçã, de massa 0,20 \mathrm{~kg}, tivesse se soltado, do repouso, de uma altura de 3,00 \mathrm{~m} do solo. Admitindo \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e desprezando-se a resistência do ar, determine a energia cinética da maça ao atingir a cabeça de Newton.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a energia cinética da maçã ao atingir a cabeça de Newton. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\text{massa da maçã } m = 0,20\\ \mathrm{kg}çã
\text{altura inicial da maçã (do solo) } h_i = 3,00\\ \mathrm{m}çã
\text{altura do topo da cabeça de Newton (do solo) } h_f = 1,70\\ \mathrm{m}ç
\text{aceleração da gravidade } g = 10\\ \mathrm{m/s^{2}}çã
Admite-se que a maçã é solta do repouso e que não há resistência do ar. O que se pede: a energia cinética da maçã no instante do impacto com a cabeça de Newton.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Energia potencial gravitacional: para um objeto de massa m colocado a uma altura h (medida em relação a uma referência), a energia potencial gravitacional é dada por
U = m g h,
onde U é a energia potencial em joules, m é a massa em quilogramas, g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^{2}} e h é a altura em metros. Esse h é sempre a altura relativa entre dois pontos; aqui usaremos a diferença entre a posição inicial e final da maçã.
  • Energia cinética: para um objeto com massa m e velocidade v, a energia cinética é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde K está em joules.
  • Conservação da energia mecânica (quando não há forças dissipativas como resistência do ar): a soma da energia potencial e da energia cinética permanece constante. Assim, ao cair a maçã a perda de energia potencial transforma-se em energia cinética.
Explicando em palavras: como não há resistência do ar, a energia que a maçã perde por ter descido uma certa altura vira energia de movimento. Então podemos calcular a energia cinética final encontrando quanto de energia potencial foi perdida.

Passo 3

Aplicando a conservação de energia entre o instante inicial (altura h_i, repouso) e o instante do impacto (altura h_f, velocidade v_f):
m g h_i + 0 = m g h_f + K_f,
onde K_f é a energia cinética final. Isolando K_f:
K_f = m g (h_i - h_f).
Aqui usei que a energia cinética inicial é zero porque a maçã foi solta do repouso.
Agora calculo a diferença de altura (a “queda” efetiva até a cabeça):
\Delta h = h_i - h_f = 3,00 - 1,70 = 1,30\\ \mathrm{m}.
Substituo os valores em K_f = m g \Delta h:
primeiro calcule g\Delta h:
g\Delta h = 10 \times 1,30 = 13\\ (\mathrm{m/s^{2}}\cdot\mathrm{m}) = 13\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
agora multiplico por m:
K_f = 0,20 \times 13 = 2,6\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Verificação alternativa (mesma resposta, outro caminho): usar a equação da cinemática para achar a velocidade final e depois calcular K.
  • Equação que relaciona velocidade e queda livre (partindo do repouso):
v_f^{2} = 2 g \Delta h.
Substituindo:
v_f^{2} = 2 \times 10 \times 1,30 = 26,
logo v_f = \sqrt{26}\\ \mathrm{m/s} (aproximadamente 5,10\\ \mathrm{m/s}). Agora energia cinética:
K_f = \tfrac{1}{2} m v_f^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0,20 \times 26 = 0,10 \times 26 = 2,6\\ \mathrm{J}.
Como esperado, dá exatamente o mesmo valor de 2,6\\ \mathrm{J}, confirmando o cálculo anterior.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: a energia cinética ao impacto é relativamente pequena (alguns joules), apesar de a maçã ter velocidade de alguns metros por segundo — é legal ver como pequenas massas e pequenas alturas resultam em energias baixas. Segue tranquilo: o método usado é direto e útil para problemas de queda livre sem resistência do ar.

Resposta

2,6\\ \mathrm{J}

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