Um contador Geiger indica uma taxa de contagem de 4000 contagens/s. Depois de 10 minutos, a taxa de contagem caiu para 100 contagens/s. (a) Qual é a meia-vida da fonte? (b) Qual será a taxa de contagem depois de 20 minutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Taxa inicial:
contagens/s no instante . - Após
minutos a taxa é contagens/s. - Perguntas:
(a) Qual é a meia-vida da fonte?
(b) Qual será a taxa de contagem depois deminutos?
Passo 2
Modelo físico e fórmula básica. Em decaimento radioativo a taxa de contagem segue uma lei exponencial do tipo
onde:
-
é a taxa de contagem no tempo , -
é a taxa inicial (em ), -
é a constante de decaimento (unidade: ), -
é o tempo medido nas mesmas unidades que usamos para .
A ideia é que a quantidade cai exponencialmente com a constante
. Nosso objetivo primeiro é achar
usando os dados fornecidos.
Passo 3
Usar os dados para encontrar
. Substituindo
(minutos),
e
na expressão:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados e usando
:
Isolando
:
Podemos obter um valor numérico aproximado. Usando
,
Passo 4
Definição e fórmula da meia-vida. A meia-vida
é o tempo necessário para a taxa/cantidad cair à metade, ou seja,
. Substituindo na lei exponencial:
Cortando
e procedendo com logaritmo:
Logo a relação padrão é
Aqui
é a constante natural do logaritmo de
(aprox.
).
Passo 5
Calcular a meia-vida usando
encontrado. Substituindo
na fórmula:
Agora o valor numérico: com
e
,
Convertendo para segundos:
Passo 6
Calcular a taxa depois de
minutos. Usamos a lei exponencial com
:
Substituindo
:
Calculando
, então
Observação rápida e intuitiva: a cada intervalo de
minutos a taxa foi reduzida por um fator
(de
para
), então em
minutos o fator é
, daí
.
Resposta
(a)
(b)
(b)