Um contador Geiger indica uma taxa de contagem de 4000 contagens/s. Depois de 10 minutos, a taxa de contagem caiu para 100 contagens/s. (a) Qual é a meia-vida da fonte? (b) Qual será a taxa de contagem depois de 20 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Taxa inicial: R_0 = 4000 contagens/s no instante t=0.
  • Após 10 minutos a taxa é R(10)=100 contagens/s.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a meia-vida da fonte?
    (b) Qual será a taxa de contagem depois de 20 minutos?

Passo 2

Modelo físico e fórmula básica. Em decaimento radioativo a taxa de contagem segue uma lei exponencial do tipo
R(t)=R_0 e^{-\lambda t},
onde:
  • R(t) é a taxa de contagem no tempo t,
  • R_0 é a taxa inicial (em t=0),
  • \lambda é a constante de decaimento (unidade: \text{tempo}^{-1}),
  • t é o tempo medido nas mesmas unidades que usamos para \lambda.
A ideia é que a quantidade cai exponencialmente com a constante \lambda. Nosso objetivo primeiro é achar \lambda usando os dados fornecidos.

Passo 3

Usar os dados para encontrar \lambda. Substituindo t=10 (minutos), R_0=4000 e R(10)=100 na expressão:
100 = 4000\,e^{-\lambda\cdot 10}.
Dividindo ambos os lados por 4000:
\frac{100}{4000}=\frac{1}{40}=e^{-10\lambda}.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados e usando \ln(e^x)=x:
\ln\!\left(\frac{1}{40}\right)=-10\lambda.
Isolando \lambda:
\lambda = -\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{1}{40}\right)=\frac{\ln 40}{10}.
Podemos obter um valor numérico aproximado. Usando \ln 40\approx 3,688879,
\lambda \approx \frac{3,688879}{10}=0,3688879\\ \text{min}^{-1}.

Passo 4

Definição e fórmula da meia-vida. A meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para a taxa/cantidad cair à metade, ou seja, R(t_{1/2})=R_0/2. Substituindo na lei exponencial:
\frac{R_0}{2}=R_0 e^{-\lambda t_{1/2}}.
Cortando R_0 e procedendo com logaritmo:
\frac{1}{2}=e^{-\lambda t_{1/2}}\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\lambda t_{1/2}.
Logo a relação padrão é
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}.
Aqui \ln 2 é a constante natural do logaritmo de 2 (aprox. 0,693147).

Passo 5

Calcular a meia-vida usando \lambda encontrado. Substituindo \lambda=\dfrac{\ln 40}{10} na fórmula:
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}=\frac{\ln 2}{(\ln 40)/10}=10\frac{\ln 2}{\ln 40}.
Agora o valor numérico: com \ln 2\approx 0,693147 e \ln 40\approx 3,688879,
t_{1/2}\approx 10\cdot\frac{0,693147}{3,688879}\approx 1,879385\\ \text{min}.
Convertendo para segundos:
t_{1/2}\approx 1,879385\times 60 \approx 112,76\\ \text{s}\approx 113\\ \text{s}.

Passo 6

Calcular a taxa depois de 20 minutos. Usamos a lei exponencial com t=20:
R(20)=4000\,e^{-\lambda\cdot 20}.
Substituindo \lambda=\dfrac{\ln 40}{10}:
R(20)=4000\,e^{-20\cdot (\ln 40)/10}=4000\,e^{-2\ln 40}=4000\,e^{\ln(40^{-2})}=\frac{4000}{40^2}.
Calculando 40^2=1600, então
R(20)=\frac{4000}{1600}=2,5\\ \text{contagens/s}.
Observação rápida e intuitiva: a cada intervalo de 10 minutos a taxa foi reduzida por um fator 40 (de 4000 para 100), então em 20 minutos o fator é 40^2, daí 4000/40^2=2,5.

Resposta

(a) t_{1/2}=10\displaystyle\frac{\ln 2}{\ln 40}\approx 1,88\\ \text{min}\\ (\approx 113\\ \text{s})
(b) R(20)=2,5\\ \text{contagens/s}

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