Usando a densidade de elétrons, calcule a energia de Fermi para
Al (
)
Al (
Passo 1
O enunciado pede para calcular a energia de Fermi do alumínio, usando a densidade de elétrons fornecida.
Informações dadas:
Informações dadas:
- densidade de elétrons do Al:
.
Passo 2
Qual é a fórmula que vamos usar? A energia de Fermi (no modelo de elétrons livres, temperatura
) é dada por
onde:
-
é a constante de Planck reduzida, , com unidades de ; -
é a massa do elétron (em ); -
é a densidade de elétrons (em ); -
sai em joules ( ); para obter elétron-volt usamos .
Explicação intuitiva rápida:
é proporcional ao “vetor de Fermi”
(um número de onda), e
é a energia cinética correspondente. Não precisa decorar a derivação agora, só aplicar com calma.
Passo 3
Converter a densidade para unidades do SI (
). Sabendo que
, então
. Logo
Passo 4
Calcular o termo
. Primeiro o produto
:
Multiplicando por
:
Agora elevamos à potência
. Para facilitar, escrevemos
Calculando cada parte (pode-se usar log ou aproximação manual):
Portanto
Passo 5
Calcular o fator
. Usamos os valores (SI):
Então
Calcule o numerador e denominador:
Dividindo:
Passo 6
Agora multiplicamos o prefactor pelo termo de
para obter
em joules:
Fazendo a multiplicação:
Passo 7
Converter para elétron-volt para ficar em unidade usual:
Então
Passo 8
Interpretação e conferência rápida: o valor obtido,
, é o valor clássico usado para o alumínio no modelo do elétron livre — portanto bate com referências e indica que os cálculos foram consistentes. Força aí, isso é exatamente o que normalmente cai em prova: converter unidades com cuidado, aplicar a fórmula e fazer as potências.