Usando a densidade de elétrons, calcule a energia de Fermi para
Al ( 18,1 \times 10^{22} \mathrm{~cm}^{-3} )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia de Fermi do alumínio, usando a densidade de elétrons fornecida.
Informações dadas:
  • densidade de elétrons do Al: n = 18{,}1\times10^{22}\\ \mathrm{cm}^{-3}.

Passo 2

Qual é a fórmula que vamos usar? A energia de Fermi (no modelo de elétrons livres, temperatura T=0) é dada por
E_F = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2 n)^{2/3},
onde:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar = \dfrac{h}{2\pi}, com unidades de \mathrm{J\cdot s};
  • m é a massa do elétron (em \mathrm{kg});
  • n é a densidade de elétrons (em \mathrm{m^{-3}});
  • E_F sai em joules ( \mathrm{J}); para obter elétron-volt usamos 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Explicação intuitiva rápida: (3\pi^2 n)^{1/3} é proporcional ao “vetor de Fermi” k_F (um número de onda), e \hbar^2 k_F^2/(2m) é a energia cinética correspondente. Não precisa decorar a derivação agora, só aplicar com calma.

Passo 3

Converter a densidade para unidades do SI ( \mathrm{m^{-3}}). Sabendo que 1\\ \mathrm{cm^3}=10^{-6}\\ \mathrm{m^3}, então 1\\ \mathrm{cm^{-3}}=10^{6}\\ \mathrm{m^{-3}}. Logo
n = 18{,}1\times10^{22}\\ \mathrm{cm^{-3}} = 18{,}1\times10^{22}\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-3}} = 1{,}81\times10^{29}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Calcular o termo (3\pi^2 n)^{2/3}. Primeiro o produto 3\pi^2 n:
3\pi^2 \approx 3\times9{,}8696044 = 29{,}6088132.
Multiplicando por n:
3\pi^2 n \approx 29{,}6088132 \times 1{,}81\times10^{29} \approx 5{,}35919519\times10^{30}.
Agora elevamos à potência 2/3. Para facilitar, escrevemos
(5{,}35919519\times10^{30})^{2/3} = 5{,}35919519^{2/3}\times(10^{30})^{2/3}.
Calculando cada parte (pode-se usar log ou aproximação manual):
5{,}35919519^{2/3}\approx3{,}058\qquad\text{e}\qquad(10^{30})^{2/3}=10^{20}.
Portanto
(3\pi^2 n)^{2/3}\approx 3{,}058\times10^{20}\\ \mathrm{m^{-2}}.

Passo 5

Calcular o fator \dfrac{\hbar^2}{2m}. Usamos os valores (SI):
\hbar = 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\qquad m = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Então
\frac{\hbar^2}{2m} = \frac{(1{,}054571817\times10^{-34})^2}{2\times9{,}10938356\times10^{-31}}.
Calcule o numerador e denominador:
\hbar^2 \approx 1{,}112121\times10^{-68},
2m \approx 1{,}821876712\times10^{-30}.
Dividindo:
\frac{\hbar^2}{2m} \approx 6{,}10325\times10^{-39}\\ \mathrm{J\cdot m^2}.

Passo 6

Agora multiplicamos o prefactor pelo termo de k_F^2 para obter E_F em joules:
E_F \approx 6{,}10325\times10^{-39}\times 3{,}058\times10^{20}\\ \mathrm{J}.
Fazendo a multiplicação:
E_F \approx 1{,}868\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Converter para elétron-volt para ficar em unidade usual:
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Então
E_F \approx \frac{1{,}868\times10^{-18}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 11{,}7\\ \mathrm{eV}.

Passo 8

Interpretação e conferência rápida: o valor obtido, E_F\approx11{,}7\\ \mathrm{eV}, é o valor clássico usado para o alumínio no modelo do elétron livre — portanto bate com referências e indica que os cálculos foram consistentes. Força aí, isso é exatamente o que normalmente cai em prova: converter unidades com cuidado, aplicar a fórmula e fazer as potências.

Resposta

\;E_F \approx 1{,}87\times10^{-18}\\ \mathrm{J}
\;E_F \approx 11{,}7\\ \mathrm{eV}

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