Um contador Geiger é um instrumento utilizado para medir a radioatividade de certos materiais (ou de um certo local), especificamente radiações ionizantes. Quando uma radiação ionizante penetra no contador, ela ioniza um gás de baixa pressão contido em um tubo exposto a uma tensão de alta voltagem elétrica, e isso faz com que elétrons sejam liberados dentro do tubo, emitindo o som característico de “clique” do contador.
Nesse contexto, suponha então que ao analisar um certo material as contagens emitidas por um contador Geiger a cada 1 minuto sigam uma distribuição Poisson com média ^1.
a. Calcule lambda=2.
b. Calcule var E(X).
c. Calcule a probabilidade de que nenhuma partícula entre no contador, isto é, calcule (X).
d. Calcule a probabilidade de que pelo menos uma partícula entre no contador, isto é, calcule P(X=0).
e. Naturalmente, à medida que mais tempo passa, esperamos que mais partículas eventualmente atingirão o contador. No contexto dessa questão, essa propriedade intuitiva pode ser formalmente definida no modelo Poisson pela modificação da taxa média P(X >= 1) da seguinte maneira: se lambda minuto, então lambda=2 em 1 em lambda=2 cdot t minutos. Calcule novamente t e P(X=0) para P(X >= 1) e t=2. Quais as suas conclusões? Comente.

  1. t=4 Isso em geral significa que muita gente vai ficar rica.

Passo 1

O enunciado diz que o número de cliques X do contador Geiger em 1 minuto segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda=2. Vamos usar as propriedades básicas dessa distribuição:
– Para XsimPoisson(lambda), tem-se E(X)=lambda e Var(X)=lambda.
– A probabilidade de k eventos em Poisson é
P(X=k)=lambda^ke^-lambdak!
– Para um intervalo de t minutos, o parâmetro passa a ser lambda(t)=2t.

Passo 2

Para a distribuição de Poisson vale a fórmula da esperança
E(X)=lambda
Como lambda=2 neste caso, concluímos que
E(X)=2

Passo 3

A variância de uma Poisson também é igual a lambda, ou seja,
Var(X)=lambda=2

Passo 4

A probabilidade de não ocorrer nenhum clique ( k=0) é
P(X=0)=2^0e^-20!=e^-2

Passo 5

A probabilidade de ocorrer pelo menos um clique é o complementar de não ocorrer nenhum, isto é,
P(X>=1)=1-P(X=0)=1-e^-2

Passo 6

Para um tempo de t minutos, usamos lambda(t)=2t.
  • Se t=2, então lambda=4 e P(X=0)=e^-4, P(X>=1)=1-e^-4
  • Se t=4, então lambda=8 e P(X=0)=e^-8, P(X>=1)=1-e^-8

Passo 7

À medida que aumentamos o tempo t, o parâmetro lambda=2t cresce, fazendo com que e^-2t fique cada vez menor. Isso significa que a chance de nenhum clique cai e a de ter pelo menos um clique cresce, como era intuitivo.

Resposta

(a) E(X)=2
(b) Var(X)=2
(c) P(X=0)=e^-2
(d) P(X>=1)=1-e^-2
(e) Para t=2: P(X=0)=e^-4, P(X>=1)=1-e^-4.
\quad Para t=4: P(X=0)=e^-8, P(X>=1)=1-e^-8.
Concluímos que, quanto maior o intervalo de tempo, menor a probabilidade de não registrar nenhum clique e maior a de registrar pelo menos um.

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