Especificamente, em uma amostra “suficientemente grande” de uma certa solução precursora da cerveja, a contagem de células de fermento X em cada cm^3 desse líquido segue uma distribuição Poisson(8), isto é, tal que
P(X=k)=e^-8 cdot 8^kk!, k=0,1,2, ldots
a. Calcule E(X).
b. Calcule var (X).
c. Calcule P(X=2).
d. Calcule P(X <= 2).
e. Calcule P(X >= 2).

Passo 1

O enunciado diz que a variável aleatória X conta o número de células de fermento por cm^3 e segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda=8. Vamos usar as propriedades padrão da Poisson:
E(X)=lambda
Var(X)=lambda
P(X=k)= e^-lambdalambda^kk!
Para as probabilidades cumulativas, somamos apropriados valores da função massa de probabilidade.

Passo 2

Pela propriedade da Poisson,
E(X)=lambda=8

Passo 3

Igualmente, a variância de Poisson é igual ao parâmetro,
Var(X)=lambda=8

Passo 4

Para k=2 basta usar a fórmula do pmf:
P(X=2) =e^-88^22! =e^-8642 =32,e^-8 approx 0,0107

Passo 5

Para P(X<=2) somamos k=0,1,2:
P(X<=2) =e^-8l(1+8+tfrac8^22!r) =e^-8(1+8+32) =41,e^-8 approx 0,01376

Passo 6

Para P(X>=2) é mais simples usar o complementar de P(X<=1):
P(X>=2) =1-P(X<=1) =1-e^-8(1+8) =1-9,e^-8 approx 0,99698

Resposta

(a) E(X)=8
(b) Var(X)=8
(c) P(X=2)=32,e^-8approx0,0107
(d) P(X<=2)=41,e^-8approx0,01376
(e) P(X>=2)=1-9,e^-8approx0,99698

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