Suponha que estejamos lançando uma moeda para cima cuja probabilidade de que um resultado “cara” ocorra seja de p=1 / 2. Decidimos então lançar a moeda até que a primeira cara ocorra, e logo podemos modelar o número de vezes necessário para que a primeira cara ocorra através de uma
v.a. X sim Geometrica(1 / 2), com função massa de probabilidade dada por
P(X=k)=(1-12)^k-1 cdot 12, k=1,2, ldots
Calcule E(X).

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma moeda com probabilidade de cara p=tfrac12 até obtermos a primeira cara. Definimos a variável aleatória X como o número de lançamentos necessários, de modo que
XsimGeométrical(tfrac12r), é
com função massa
P(X=k)=l(1-tfrac12r)^k-1cdottfrac12, k=1,2,dots
O que queremos calcular é
E(X)

Passo 2

Pela definição de valor esperado para variáveis discretas,
E(X) =sumk=1^inftyk,P(X=k) =sumk=1^inftykcdotl(tfrac12r)^k-1cdottfrac12 =sumk=1^inftykl(tfrac12r)^k

Passo 3

Para somar a série sumk=1^infty kx^k (com |x|<1), lembramos que
sumk=0^inftyx^k=11-x Longrightarrow sumk=1^inftyk,x^k-1 =ddxl(11-xr) =1(1-x)^2
Multiplicando ambos os lados por x, obtemos
sumk=1^inftyk,x^k =x(1-x)^2

Passo 4

Basta agora usar x=tfrac12:
E(X) =sumk=1^infty kl(tfrac12r)^k =tfrac12l(1-tfrac12r)^2 =tfrac12(tfrac12)^2 =2

Resposta

E(X)=2.

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