Suponha que uma mineradora esteja conduzindo um estudo de viabilidade da mineração de ouro em uma certa região, e no estudo esteja contemplada a possibilidade da realização de até n=10 operações de prospecção (busca por depósitos, ou concentrações, desse minério). Com base em estudos anteriores,
assume-se que a taxa de sucesso de uma busca na região é de p=1 / 100, e logo decidimos modelar o número de depósitos de ouro encontrados através de uma v.a. X sim Binomial(10,1 / 100).
a. Calcule E(X).
b. Calcule var(X).
c. Se a mineradora ficar satisfeita em encontrar pelo menos um depósito contendo ouro nessa região ^1, qual a probabilidade de que isso aconteça?
d. Suponha agora que a mineradora disponha de recursos suficientes para realizar n=100 operações de prospecção na região. Como essa nova informação modifica suas respostas até agora?

Passo 1

O enunciado modela o número de depósitos de ouro encontrados por até n prospecções como uma v.a. binomial XsimBinomial(n,p) com p=1/100. Precisamos calcular a expectativa, a variância e a probabilidade de encontrar pelo menos um depósito, primeiro para n=10 e depois ver como muda se n=100.

Passo 2

Para XsimBinomial(n,p) vale a teoria:
E(X)=n,p,
Var(X)=n,p,(1-p),
e a probabilidade de pelo menos um sucesso é
P(X>=1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n

Passo 3

Aplicando em n=10 e p=1/100:
E(X)=10cdot1100=0,1,
Var(X)=10cdot1100cdotl(1-1100r) =10cdot0,01cdot0,99=0,099

Passo 4

Ainda para n=10:
P(X>=1)=1-(1-p)^10 =1-(0,99)^10

Passo 5

Se agora n=100 com o mesmo p=1/100, basta trocar n naquelas fórmulas:
E(X)=100cdot1100=1,
Var(X)=100cdot1100cdot0,99=0,99,
P(X>=1)=1-(0,99)^100

Resposta

(a) E(X)=0,1
(b) Var(X)=0,099
(c) P(X>=1)=1-(0,99)^10
(d) Com n=100: E(X)=1, Var(X)=0,99 e P(X>=1)=1-(0,99)^100.

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