Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3. Obtenha a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas:
no máximo duas partículas

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: temos um detector Geiger que conta partículas por segundo, e esse número segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . A pergunta é: qual a probabilidade de, em um segundo, registrarmos no máximo duas partículas (ou seja, )?
Conteúdo: distribuição de Poisson e soma de probabilidades de eventos discretos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição de Poisson. Se P(X = k) = e^-lambda,lambda^kk!, k = 0,1,2,dots tem Poisson de parâmetro P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) , então
Como queremos “no máximo duas partículas”, precisamos calcular

Passo 3

Agora vamos achar cada termo usando P(X=0) = e^-3,3^00! = e^-3,11 = e^-3 :
  1. Para P(X=1) = e^-3,3^11! = e^-3times 3 : P(X=2) = e^-3,3^22! = e^-3times 92 = e^-3times 4,5
  2. Para :
  3. Para :

Passo 4

Somando tudo:
P(X<=2) = e^-3l(1 + 3 + 4,5r) = e^-3times 8,5
Agora é só calcular numericamente. Aproximando P(X<=2) approx 0,049787 times 8,5 approx 0,4232 :

Resposta

A probabilidade de registrar no máximo duas partículas em um segundo é aproximadamente .

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