Exercício 41. Setenta por cento da população de uma cidade têm computador em casa. Se um pesquisador procura por munícipes ao acaso na rua até encontrar uma pessoa que tenha computador em casa, qual a probabilidade de que ele precise:
(a) de exatamente quatro tentativas.
(b) de pelo menos quatro tentativas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: numa cidade, 70% da galera tem computador em casa. Um pesquisador vai na rua e testa pessoas aleatoriamente até encontrar alguém que tenha computador. A gente quer:
(a) a probabilidade de ele precisar exatamente de 4 tentativas;
(b) a probabilidade de ele precisar de pelo menos 4 tentativas.
Conteúdo: distribuição geométrica (probabilidade de número de tentativas até o primeiro sucesso). A gente vai precisar saber a fórmula da geométrica e entender soma de séries geométricas.

Passo 2

Definindo as coisas: sucesso = “a pessoa tem computador”, p = 0,7. Falha = “não tem computador”, q = 1–p = 0,3.
Na distribuição geométrica, a probabilidade de ter o primeiro sucesso exatamente na k-ésima tentativa é
P(X = k) = q^,k-1,p

Passo 3

(a) Para exatamente 4 tentativas, basta aplicar essa fórmula com k = 4:
P(X=4) = q^,4-1,p = (0.3)^3,(0.7)
Calculando:
(0.3)^3 = 0.027,
então
P(X=4) = 0.027 times 0.7 = 0.0189

Passo 4

(b) Para “pelo menos 4 tentativas” quer dizer X ≥ 4. Na geométrica vale que
P(X >= k) = q^,k-1
Aqui k = 4, então
P(X >= 4) = q^,4-1 = (0.3)^3 = 0.027
Explicando: isso é igual à soma infinita , que se resume a .

Resposta

(a) 0,0189
(b) 0,027

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