Exercício 42. Um vendedor de porta em porta consegue realizar a venda em 40 % das visitar que faz. Ele planeja efetuar no mínimo duas vendas por dia. Seja X o número de visitas feitas até que a segunda venda seja efetivada.
(a) Qual a distribuição de X.
(b) Calcule a probabilidade de que o vendedor faça no máximo seis visitas para concluir as duas vendas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um vendedor que, a cada visita, vende com probabilidade . Ele quer fazer 2 vendas num dia e pará quando conseguir a segunda venda. Definimos = número de visitas até sair a 2ª venda.
Conteúdo: probabilidade discreta, distribuição binomial negativa (ou de Pascal). Vamos usar a fórmula dessa distribuição para achar (a) qual é a lei de e (b) calcular .

Passo 2

(a) Qual a distribuição de Pr(X = k) = binomk-1r-1,p^r,(1-p)^,k-r, k = r, r+1, r+2,dots .
Quando contamos quantas tentativas até obter boxedX sim Binomial Negativa(r=2,,p=0,4) sucessos (aqui ), com probabilidade de sucesso , dizemos que segue a distribuição binomial negativa. A fórmula geral é:
No nosso caso e , então

Passo 3

(b) Calcular Pr(X<=6) =sumk=2^6binomk-11,0,4^2,0,6^,k-2 .
Significa somar 0,16 + 0,192 + 0,1728 + 0,13824 + 0,10368 approx 0,76672 de até . Ou seja:
Vamos fazer termo a termo (chamando ):
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :
Somando tudo:

Resposta

(a) .
(b) .

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