Exercício 45. O número
de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semana segue uma distribuição de Poisson. Sabendo que a porcentagem de semanas em que ocorre um acidente é um terço da porcentagem de semanas em que não acontece nenhum, calcule:
a) o parâmetro da distribuição
b) a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e também um na semana seguinte
A partir de uma data, a direção da fábrica vai registrar o número
de semanas decorridas até uma semana com ao menos um acidente.
a) Qual a distribuição de
?
b) Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na contagem
a) o parâmetro da distribuição
b) a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e também um na semana seguinte
a) Qual a distribuição de
b) Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na contagem
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede e de que matéria estamos falando. A gente tem uma variável X que conta o número de acidentes de trabalho por semana e X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
(ou seja,
).
- Eles dizem que a porcentagem de semanas em que ocorre pelo menos um acidente, isto é
, é um terço da porcentagem de semanas sem nenhum, isto é . A partir disso precisamos achar . - Depois, querem a probabilidade de ter acidente numa semana e também na semana seguinte (assumindo independência das semanas).
- Em seguida, definem
= número de semanas até a primeira semana com pelo menos um acidente. A parte (a) pede a distribuição de e a (b) .
Para resolver isso, vamos usar:
- Fórmulas da distribuição de Poisson,
- Conceito de independência e de probabilidade de “pelo menos um evento” (
), - E saber que “número de ensaios até o primeiro sucesso” dá distribuição geométrica.
Passo 2
Primeiro, usamos que
O enunciado diz
Agora é só isolar
:
Passo 3
A probabilidade de ter pelo menos um acidente numa semana é
Como as semanas são independentes, a chance de acidente nesta semana E na próxima é
Passo 4
Agora,
= número de semanas “esperadas” até a primeira com acidente. Cada semana é um ensaio de Bernoulli com sucesso “acidente” de probabilidade
. O número de ensaios até o primeiro sucesso segue a distribuição Geométrica com parâmetro
, cuja fórmula é
Passo 5
Para
, basta pôr na fórmula:
Resposta
a) O parâmetro da Poisson é
.
b) A probabilidade de acidente em uma semana e também na seguinte é .
c) tem distribuição Geométrica de parâmetro
, isto é
.
d) .
b) A probabilidade de acidente em uma semana e também na seguinte é
c)
d)