Exercício 45. O número X de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semana segue uma distribuição de Poisson. Sabendo que a porcentagem de semanas em que ocorre um acidente é um terço da porcentagem de semanas em que não acontece nenhum, calcule:
a) o parâmetro da distribuição
b) a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e também um na semana seguinte
A partir de uma data, a direção da fábrica vai registrar o número Y de semanas decorridas até uma semana com ao menos um acidente.
a) Qual a distribuição de Y ?
b) Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na contagem

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede e de que matéria estamos falando. A gente tem uma variável X que conta o número de acidentes de trabalho por semana e X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda (ou seja, P(X=k)=e^-lambda,lambda^kk!).
  1. Eles dizem que a porcentagem de semanas em que ocorre pelo menos um acidente, isto é P(X>=1), é um terço da porcentagem de semanas sem nenhum, isto é P(X=0). A partir disso precisamos achar lambda.
  2. Depois, querem a probabilidade de ter acidente numa semana e também na semana seguinte (assumindo independência das semanas).
  3. Em seguida, definem Y = número de semanas até a primeira semana com pelo menos um acidente. A parte (a) pede a distribuição de Y e a (b) P(Y=4).
    Para resolver isso, vamos usar:
  • Fórmulas da distribuição de Poisson,
  • Conceito de independência e de probabilidade de “pelo menos um evento” ( 1 - P(0)),
  • E saber que “número de ensaios até o primeiro sucesso” dá distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, usamos que
P(X=0)=e^-lambda, P(X>=1)=1-e^-lambda
O enunciado diz
P(X>=1)=tfrac13,P(X=0);Longrightarrow;1-e^-lambda=tfrac13,e^-lambda
Agora é só isolar e^-lambda:
1 = e^-lambda + tfrac13,e^-lambda = tfrac43,e^-lambda Longrightarrow e^-lambda=tfrac34 Longrightarrow lambda = -lnl(tfrac34r) = lnl(tfrac43r)

Passo 3

A probabilidade de ter pelo menos um acidente numa semana é
p = P(X>=1)=1-e^-lambda=1-tfrac34=tfrac14
Como as semanas são independentes, a chance de acidente nesta semana E na próxima é
p^2 = l(tfrac14r)^2 = tfrac116

Passo 4

Agora, Y = número de semanas “esperadas” até a primeira com acidente. Cada semana é um ensaio de Bernoulli com sucesso “acidente” de probabilidade p=1/4. O número de ensaios até o primeiro sucesso segue a distribuição Geométrica com parâmetro p, cuja fórmula é
P(Y=k)=(1-p)^,k-1,p, k=1,2,3,dots

Passo 5

Para k=4, basta pôr na fórmula:
P(Y=4)=(1-p)^3,p=l(tfrac34r)^3,tfrac14=tfrac2764timestfrac14=tfrac27256

Resposta

a) O parâmetro da Poisson é lambda=ln!l(tfrac43r).
b) A probabilidade de acidente em uma semana e também na seguinte é tfrac116.
c) Y tem distribuição Geométrica de parâmetro p=tfrac14, isto é
P(Y=k)=(tfrac34)^,k-1,tfrac14.
d) P(Y=4)=tfrac27256,.

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