A contaminação de poços de abastecimento de água é o maior risco associado a vazamentos em tanques subterrâneos de armazenamento de combustíveis. Em uma cidade foram verificados 200 poços de abastecimento de água, desses, 5 estavam contaminados. Porém, o órgão responsável não divulgou quais seriam. Um pesquisador pretende selecionar 8 poços para um estudo. Qual a probabilidade de pelo menos um poço estar contaminado nessa amostra?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos 200 poços de água, dos quais 5 estão contaminados, mas não sabemos quais. Vamos escolher 8 poços ao acaso e queremos saber a probabilidade de pelo menos um estar contaminado.
Conteúdo: probabilidade discreta com combinatória (distribuição hipergeométrica). Vamos precisar entender como contar quantas amostras possíveis existem (combinações) e depois usar o complemento “pelo menos um” = 1 – “nenhum”.

Passo 2

Para calcular “pelo menos um contaminado” é muito mais fácil fazer o complemento:
P(pelo menos 1) = 1 – P(nenhum contaminado).
Por que? Porque “nenhum contaminado” significa escolher os 8 todos dentre os 195 não contaminados.

Passo 3

Agora o lance das combinações:
– A combinação binomnk = n!k!,(n-k)! é o número de jeitos de escolher itens dentre , sem ordem, e vale
Então:
• Total de jeitos de escolher 8 poços de 200 é .
• Jeitos de escolher 8 poços sem pegar nenhum contaminado é .

Passo 4

Montando a expressão em LaTeX:
P(pelo menos 1 contaminado) = 1 - binom1958binom2008
Se você quiser um valor numérico aproximado, dá:
binom1958binom2008approx 0,8136 Longrightarrow P(pelo menos 1)approx 1 - 0,8136 = 0,1864

Resposta

boxed1 - binom1958binom2008approx 0,1864 (ou 18,64%)

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