Seja
um par de variáveis aleatórias discretas com a seguinte distribuição conjunta:
0
1
0
0.1
0.2
1
0.3
0.4
Calcule as seguintes quantidades:
- As funções de probabilidade marginal de
e
;
-
;
-
e
;
- A covariância, definida por
- O coeficiente de correlação de Pearson:
|
0 | 1 |
0 | 0.1 | 0.2 |
1 | 0.3 | 0.4 |
Passo 1
Beleza, vamos por partes. A questão fala de duas variáveis aleatórias discretas X e Y com uma tabela de valores conjuntos de probabilidade. O que a gente precisa fazer:
- achar as distribuições marginais de X e de Y;
- calcular as esperanças
, e ; - achar as variâncias
e ; - calcular a covariância
; - por fim, achar o coeficiente de correlação de Pearson
.
Para isso, vamos usar:
- Marginal:
e . - Esperança:
e similar para Y. - Esperança conjunta:
. - Variância:
. - Covariância e correlação conforme definidas acima.
Passo 2
Calcular as marginais
- Para X=0:
- Para X=1:
- Para Y=0:
- Para Y=1:
Passo 3
Calcular as esperanças
-
-
-
.
Só o termodá 1, então
Passo 4
Calcular as variâncias
Como X e Y só assumem 0 ou 1, temos e
.
Como X e Y só assumem 0 ou 1, temos
Passo 5
Calcular a covariância
Passo 6
Calcular o coeficiente de correlação de Pearson
Resposta
Marginais:
Esperanças:
.
Variâncias: .
Covariância: .
Correlação de Pearson: .
Variâncias:
Covariância:
Correlação de Pearson: