Seja (X, Y) um par de variáveis aleatórias discretas com a seguinte distribuição conjunta:
c|cc $X backslash Y$ & 0 & 1 hline 0 & 0.1 & 0.2 1 & 0.3 & 0.4 0 1
0 0.1 0.2
1 0.3 0.4
Calcule as seguintes quantidades:
  • As funções de probabilidade marginal de X e Y;
  • E[X], E[Y], E[X Y];
  • Var(X) e Var(Y);
  • A covariância, definida por
Cov(X, Y)=E[X Y]-E[X] E[Y]
  • O coeficiente de correlação de Pearson:
rhoX, Y=Cov(X, Y)raizVar(X) Var(Y)

Passo 1

Beleza, vamos por partes. A questão fala de duas variáveis aleatórias discretas X e Y com uma tabela de valores conjuntos de probabilidade. O que a gente precisa fazer:
  1. achar as distribuições marginais de X e de Y;
  2. calcular as esperanças , e ;
  3. achar as variâncias e ;
  4. calcular a covariância ;
  5. por fim, achar o coeficiente de correlação de Pearson
    .
Para isso, vamos usar:
  • Marginal: e .
  • Esperança: e similar para Y.
  • Esperança conjunta: .
  • Variância: .
  • Covariância e correlação conforme definidas acima.

Passo 2

Calcular as marginais
  • Para X=0: pX(0)=pX,Y(0,0)+pX,Y(0,1)=0.1+0.2=0.3
  • Para X=1: pX(1)=0.3+0.4=0.7
  • Para Y=0: pY(0)=pX,Y(0,0)+pX,Y(1,0)=0.1+0.3=0.4
  • Para Y=1: pY(1)=0.2+0.4=0.6

Passo 3

Calcular as esperanças
  • E[XY]=1cdot1cdot0.4=0.4
  • .
    Só o termo dá 1, então

Passo 4

Calcular as variâncias
Como X e Y só assumem 0 ou 1, temos e .

Passo 5

Calcular a covariância
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X],E[Y]=0.4 - (0.7cdot0.6)=0.4-0.42=-0.02

Passo 6

Calcular o coeficiente de correlação de Pearson
rhoX,Y =Cov(X,Y)raizVar(X),Var(Y) =-0.02raiz0.21cdot0.24 approx-0.020.2245 approx -0.0891

Resposta

Marginais:
pX(0)=0.3,;pX(1)=0.7; pY(0)=0.4,;pY(1)=0.6
Esperanças: .
Variâncias: .
Covariância: .
Correlação de Pearson: .

Exercícios relacionados