A contaminação é um problema na fabricação de discos de armazenamento óptico (CDs). O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson, e o número médio de partículas é de 2 na área de um disco em estudo. Seja X o número de partículas na área de um disco em estudo. Calcule: (utilize 4 casas decimais)
P(X <= 9) square

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o número de partículas de contaminação num CD segue uma distribuição de Poisson com média lambda=2. A questão pede a probabilidade de até 9 partículas, isto é
P(X<=9),
Conteúdo: distribuição de Poisson e como calcular sua função de massa e a soma cumulativa (CDF). Vamos precisar da fórmula do Poisson e depois somar de k=0 até 9.

Passo 2

Antes de tudo, lembra da definição: para XsimPoisson(lambda), a probabilidade de exatamente k eventos é
P(X=k)=e^-lambda,lambda^kk!,
Aqui lambda=2. Para achar P(X<=9) a gente vai calcular P(X=0),P(X=1),dots,P(X=9) e somar tudo.

Passo 3

Vamos achar cada termo usando lambda=2 e e^-2approx0.1353353 (arredondado):
P(X=0)&=e^-22^00!=0.1353353cdot1=0.1353353, P(X=1)&=e^-22^11!=0.1353353cdot2=0.2706706, P(X=2)&=e^-22^22!=0.1353353cdot42=0.2706706, P(X=3)&=e^-22^33!=0.1353353cdot86=0.1804470, P(X=4)&=0.1804470cdot24=0.0902235, P(X=5)&=0.0902235cdot25=0.0360894, P(X=6)&=0.0360894cdot26=0.0120298, P(X=7)&=0.0120298cdot27=0.0034371, P(X=8)&=0.0034371cdot28=0.0008593, P(X=9)&=0.0008593cdot29=0.0001909
Note que, pra k>=1, bole repassar P(X=k)=P(X=k-1)cdotlambdak, evitando refazer tudo do zero.

Passo 4

Agora somamos esses termos de k=0 até 9:
P(X<=9)=sumk=0^9P(X=k)approx 0.1353353+0.2706706+0.2706706+0.1804470+0.0902235+0.0360894 +0.0120298+0.0034371+0.0008593+0.0001909,
Fazendo a conta dá aproximadamente 0.9999535.

Resposta

P(X<=9)approx0.9999(com 4 casas decimais)

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