Um processo de produção opera a uma taxa de 2 % de peças produzidas não conformes. A cada hora uma amostra de 50 unidades do produto é retirada, e o número de não conformes é contado. Se uma ou mais unidades fora das especificações são encontradas, o processo é interrompido e o técnico de controle de qualidade tem que encontrar a causa para a produção não conforme. Calcule a probabilidade do técnico de controle de qualidade ter que interromper o processo devido à produção de não conformes. (R:0,6358)

Passo 1

Beleza, deixa eu resumir o que a gente tem aqui: um processo produz peças com 2% de chance de estar fora de especificação. A cada hora pega-se uma amostra de 50 peças e conta quantas estão ruins. Se aparecer pelo menos uma peça ruim, interrompe tudo.
Matéria: Probabilidade discreta, mais especificamente distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é distribuição Binomial (n, p, k).
  2. Usar a fórmula da probabilidade de exatamente k “sucessos” (aqui “sucesso” = peça ruim).
  3. Aplicar o complemento para achar P(pelo menos 1 ruim).

Passo 2

Teoria da Binomial: quando você tem um número fixo de ensaios independentes (n), cada um com probabilidade P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k de “sucesso”, a probabilidade de ter exatamente sucessos é
Aqui:
  • (peças na amostra)
  • (chance de uma peça ser ruim)
  • Queremos .

Passo 3

Antes de pegar “pelo menos 1”, calcula o caso mais simples: nenhuma peça ruim, ou seja P(X=0) =binom500,(0,02)^0,(0,98)^50 =1;times;1;times;(0,98)^50 =(0,98)^50 .
Explicando:
  • porque tem só uma maneira de escolher zero peças.
  • .
  • Resta , que é a chance de todas as 50 serem boas.

Passo 4

Como “pelo menos 1 ruim” é o complemento de “nenhuma ruim”, a gente faz:
P(X>=1) = 1 - P(X=0) = 1 - (0,98)^50
É um truquezinho clássico: é mais fácil achar P(0) e subtrair de 1.

Passo 5

Só falta calcular numericamente:
(0,98)^50 approx 0,3642
(então , arredondando).

Resposta

A probabilidade de interromper o processo é aproximadamente (63,58%).

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