Para n=5,6,7, conte as trocas de linhas para permutar a identidade reversa Jn para a matriz identidade In. Proponha uma regra para todo tamanho n e preveja se J101 tem determinante +1 ou -1 .

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quantas trocas de linhas são necessárias para transformar a matriz identidade reversa Jn na matriz identidade In para n=5,6,7, propor uma regra geral para qualquer n e prever o sinal do determinante de J101. Vamos usar que cada troca de linhas é uma transposição que muda o sinal do determinante e que, para reverter n linhas, bastam lfloor n/2rfloor transposições.

Passo 2

Para n=5 invertemos 1 rightarrow 5 e 2 rightarrow 4, total de lfloor 5/2 rfloor = 2 transposições, logo fator de sinal (-1)^2 = +1.
Para n=6 invertemos 1 rightarrow 6, 2 rightarrow 5 e 3 rightarrow 4, total de lfloor 6/2 rfloor = 3 transposições, logo fator (-1)^3 = -1.
Para n=7 invertemos 1 rightarrow 7, 2 rightarrow 6 e 3 rightarrow 5, total de lfloor 7/2 rfloor = 3 transposições, logo fator (-1)^3 = -1.

Passo 3

Em geral, reverter Jnto In exige
lfloor n/2rfloor
transposições, de modo que
det(Jn) = (-1)^lfloor n/2rfloor

Passo 4

Observe que, se n=4k ou n=4k+1, então lfloor n/2rfloor=2k é par e det(Jn)=+1; se n=4k+2 ou n=4k+3, então lfloor n/2rfloor=2k+1 é ímpar e det(Jn)=-1.

Passo 5

Como 101equiv1pmod4, temos lfloor101/2rfloor=50 par, portanto
det(J101) = +1

Resposta

det(J101)=+1

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