Verdadeiro ou falso, com uma razão se verdadeiro ou um contraexemplo se falso:
(a) O determinante de é .
(b) O determinante de é .
(c) O determinante de é .
(d) O determinante de é zero. Tente um exemplo com .
Passo 1
O enunciado pede para verificar quatro propriedades envolvendo determinantes de matrizes quadradas. O conteúdo principal é a teoria de determinantes: sua multiplicatividade, comportamento sob soma com a identidade e sob multiplicação por escalar, e propriedades de comutadores AB-BA.
Passo 2
Item (a): “det(I+A)=1+det A”. Essa fórmula não existe em geral, pois det não é linear. Contraexemplo em dimensão 2: seja
A = 1 & 00 & 1
Então I+A=2I e
det(I+A)=det(2I)=2^2=4,
enquanto
1+det A=1+1=2
Logo det(I+A)neq1+det A.
Passo 3
Item (b): “det(ABC)=lvert Arvert,lvert Brvert,lvert Crvert”. Essa é exatamente a propriedade multiplicativa do determinante em matrizes quadradas: para quaisquer matrizes compatíveis,
det(ABC)=det A;det B;det C
Portanto essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
Item (c): “det(4A)=4,lvert Arvert”. Em dimensão n temos det(kA)=k^ndet A. Logo em 2times2,
det(4A)=4^2det A=16det Aneq4det A
em geral. Por exemplo, se A=I2 então det(4I2)=16 mas 4det I2=4.
Passo 5
Item (d): “det(AB-BA)=0 para todo par A,B”. Em geral isso falha: comutadores em 2times2 são traçeless mas podem ter determinante não nulo. Tomemos