Verdadeiro ou falso, com uma razão se verdadeiro ou um contraexemplo se falso:
(a) O determinante de I+A é 1+det A.
(b) O determinante de A B C é |A||B||C|.
(c) O determinante de 4 A é 4|A|.
(d) O determinante de A B-B A é zero. Tente um exemplo com A=[ll0 & 0 0 & 1].

Passo 1

O enunciado pede para verificar quatro propriedades envolvendo determinantes de matrizes quadradas. O conteúdo principal é a teoria de determinantes: sua multiplicatividade, comportamento sob soma com a identidade e sob multiplicação por escalar, e propriedades de comutadores AB-BA.

Passo 2

Item (a): “ det(I+A)=1+det A”. Essa fórmula não existe em geral, pois det não é linear. Contraexemplo em dimensão 2: seja
A = 1 & 00 & 1
Então I+A=2I e
det(I+A)=det(2I)=2^2=4,
enquanto
1+det A=1+1=2
Logo det(I+A)neq1+det A.

Passo 3

Item (b): “ det(ABC)=lvert Arvert,lvert Brvert,lvert Crvert”. Essa é exatamente a propriedade multiplicativa do determinante em matrizes quadradas: para quaisquer matrizes compatíveis,
det(ABC)=det A;det B;det C
Portanto essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Item (c): “ det(4A)=4,lvert Arvert”. Em dimensão n temos det(kA)=k^ndet A. Logo em 2times2,
det(4A)=4^2det A=16det Aneq4det A
em geral. Por exemplo, se A=I2 então det(4I2)=16 mas 4det I2=4.

Passo 5

Item (d): “ det(AB-BA)=0 para todo par A,B”. Em geral isso falha: comutadores em 2times2 são traçeless mas podem ter determinante não nulo. Tomemos
A=0&00&1, B=0&11&0
Calcula-se
AB-BA=0&1-1&0,
cujo determinante é
det(AB-BA)=0cdot0-1cdot(-1)=1neq0
Logo a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa.
(d) Falsa.

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