Mostre como a Regra 6 (determinante
se uma linha é nula) vem da Regra 3.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma das linhas de uma matriz é o vetor nulo, então o determinante dessa matriz é zero. Vamos usar a Regra 3, que diz que o determinante é linear em cada linha, mantendo as demais fixas (multilinearidade em linhas).
Passo 2
Regra 3 (multilinearidade em linhas) afirma que, para uma matriz
de ordem
, se a
-ésima linha de
for escrita como soma de dois vetores,
então
Além disso, se essa linha for multiplicada por um escalar
,
Passo 3
Agora considere uma matriz
cuja
-ésima linha é o vetor nulo
. Podemos ver esse vetor nulo como combinação linear trivial de qualquer vetor
:
Ou seja, substituindo na Regra 3, temos
Passo 4
Pela propriedade de homogeneidade (parte da Regra 3), o escalar
sai do determinante:
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Resposta
Se uma linha de uma matriz é nula, então o determinante da matriz é zero.