Mostre como a Regra 6 (determinante =0 se uma linha é nula) vem da Regra 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma das linhas de uma matriz é o vetor nulo, então o determinante dessa matriz é zero. Vamos usar a Regra 3, que diz que o determinante é linear em cada linha, mantendo as demais fixas (multilinearidade em linhas).

Passo 2

Regra 3 (multilinearidade em linhas) afirma que, para uma matriz A de ordem n, se a k-ésima linha de A for escrita como soma de dois vetores,
Lk = u + v,
então
det(A) ;=;detl(dots,Lk,dotsr) =detl(dots,u,dotsr)+detl(dots,v,dotsr)
Além disso, se essa linha for multiplicada por um escalar c,
detl(dots,c,Lk,dotsr) = c,detl(dots,Lk,dotsr)

Passo 3

Agora considere uma matriz A cuja k-ésima linha é o vetor nulo 0. Podemos ver esse vetor nulo como combinação linear trivial de qualquer vetor w:
0 = 0cdot w
Ou seja, substituindo na Regra 3, temos
det(A) =detl(dots,0,dotsr) =detl(dots,0cdotw,dotsr)

Passo 4

Pela propriedade de homogeneidade (parte da Regra 3), o escalar 0 sai do determinante:
detl(dots,0cdotw,dotsr) =0;detl(dots,w,dotsr) =0
Logo
det(A)=0

Resposta

Se uma linha de uma matriz é nula, então o determinante da matriz é zero.

Exercícios relacionados