Um indivíduo fez quatro determinações de ferro em uma liga metálica, encontrando um valor médio de
e uma estimativa do desvio padrão de
. Qual o intervalo em que deve estar a média da população, com um grau de confiança de
?
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo em que deve estar a média da população com grau de confiança de
.
Informações fornecidas:
(m/m) — média amostral;
(m/m) — estimativa do desvio padrão amostral;
— tamanho da amostra;
nível de confiança .
Informações fornecidas:
nível de confiança
Passo 2
Escolha do método e fórmula a usar.
Quando temos uma amostra pequena ( pequeno) e o desvio padrão da população é desconhecido (usamos
como estimativa), o intervalo de confiança para a média é dado pela distribuição
de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança bilateral é:
Quando temos uma amostra pequena (
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o valor crítico da distribuição com graus de liberdade, correspondente a na cauda (para de confiança, e ). -
é o desvio padrão amostral (aqui ). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra; o quociente é o erro padrão da média (standard error), que mede a incerteza da média amostral como estimativa da média populacional.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média
.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora o erro padrão:
Interpretação: em média a média amostral varia cerca de
em torno da verdadeira média populacional por causa da variabilidade amostral.
Passo 4
Obter o valor crítico
.
Aqui graus de liberdade e
. Consultando uma tabela
ou calculadora, temos aproximadamente:
Aqui
Comentário curto: esse valor é maior que o correspondente da normal padrão porque com poucas observações há mais incerteza, então a distribuição
tem caudas mais pesadas.
Passo 5
Calcular a margem de erro
.
Multiplicando:
Multiplicando:
Interpretação: com
de confiança, a média populacional está a, no máximo, cerca de
da média amostral.
Passo 6
Calcular os limites do intervalo de confiança aplicando
.
Limite inferior:
Limite inferior:
Limite superior:
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em relatórios de química/medidas):
Passo 7
Interpretação final e observação sobre hipótese.
O intervalo obtido significa que, sob as suposições (a amostra é representativa e a variável é aproximadamente normal ou a amostra vem de uma população razoavelmente normal), estamos confiantes de que a verdadeira média de teor de ferro na liga está entre os limites calculados. Aguente firme — com só quatro medidas a incerteza é maior (veja o tamanho da margem de erro), por isso normalmente desejaríamos mais repetições para reduzir o erro padrão.
O intervalo obtido significa que, sob as suposições (a amostra é representativa e a variável é aproximadamente normal ou a amostra vem de uma população razoavelmente normal), estamos