Um indivíduo fez quatro determinações de ferro em uma liga metálica, encontrando um valor médio de 31,40 \% \mathrm{~m} / \mathrm{m} e uma estimativa do desvio padrão de 0,11 \% \mathrm{~m} / \mathrm{m}. Qual o intervalo em que deve estar a média da população, com um grau de confiança de 95 \% ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo em que deve estar a média da população com grau de confiança de 95\%.
Informações fornecidas:
\bar{x}=31,40\% (m/m) — média amostral;
s=0,11\% (m/m) — estimativa do desvio padrão amostral;
n=4 — tamanho da amostra;
nível de confiança =95\%.

Passo 2

Escolha do método e fórmula a usar.
Quando temos uma amostra pequena ( n pequeno) e o desvio padrão da população é desconhecido (usamos s como estimativa), o intervalo de confiança para a média é dado pela distribuição t de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança bilateral é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=31,40\%).
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o valor crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade, correspondente a \alpha/2 na cauda (para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025).
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=0,11\%).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra; o quociente s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (standard error), que mede a incerteza da média amostral como estimativa da média populacional.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média \dfrac{s}{\sqrt{n}}.
Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{4}=2.
Agora o erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,11\%}{2}=0,055\%.
Interpretação: em média a média amostral varia cerca de 0,055\% em torno da verdadeira média populacional por causa da variabilidade amostral.

Passo 4

Obter o valor crítico t_{\alpha/2,\;n-1}.
Aqui n-1=3 graus de liberdade e \alpha/2=0,025. Consultando uma tabela t ou calculadora, temos aproximadamente:
t_{0,025,\;3}=3,182.
Comentário curto: esse valor é maior que o correspondente da normal padrão porque com poucas observações há mais incerteza, então a distribuição t tem caudas mais pesadas.

Passo 5

Calcular a margem de erro E=t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Multiplicando:
E=3,182\times 0,055\%=0,17501\%\approx 0,175\%.
Interpretação: com 95\% de confiança, a média populacional está a, no máximo, cerca de 0,175\% da média amostral.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo de confiança aplicando \bar{x}\pm E.
Limite inferior:
\bar{x}-E=31,40\%-0,175\%=31,225\%.
Limite superior:
\bar{x}+E=31,40\%+0,175\%=31,575\%.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em relatórios de química/medidas):
31,23\%\quad\text{a}\quad31,58\%.

Passo 7

Interpretação final e observação sobre hipótese.
O intervalo obtido significa que, sob as suposições (a amostra é representativa e a variável é aproximadamente normal ou a amostra vem de uma população razoavelmente normal), estamos 95\% confiantes de que a verdadeira média de teor de ferro na liga está entre os limites calculados. Aguente firme — com só quatro medidas a incerteza é maior (veja o tamanho da margem de erro), por isso normalmente desejaríamos mais repetições para reduzir o erro padrão.

Resposta

[31,23\%;\,31,58\%]

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