Num novo método para determinar selenouréia em água teve os seguintes valores ( \mu_{0} ) obtidos para amostras de água da torneira enriquecidas com 50 \mathrm{ng} \mathrm{mL}^{-1} de selenouréia: 50, 4 ; 50,7 ; 49,1 ; 49,0 e 51,1 \mathrm{ng} \mathrm{mL}^{-1}. Existe alguma evidência de erro sistemático? Observação, encontre o valor de t_{\text {cal }} e compare com o t_{\text {tab }}.

Passo 1

O enunciado dá as medidas obtidas para amostras enriquecidas com \mu_{0}=50\\ \mathrm{ng\\ mL^{-1}}. Os valores são:
50,4;\;50,7;\;49,1;\;49,0;\;51,1\\ \mathrm{ng\\ mL^{-1}}.
O que nos pedem:
  • Verificar se existe evidência de erro sistemático (isto é, se a média amostral difere de \mu_{0}=50).
  • Calcular o valor de t_{\text{cal}} e compará‑lo com t_{\text{tab}}.

Passo 2

Qual teste vamos usar e por quê (explicação didática)?
  • Estamos testando se a média da amostra difere de um valor conhecido ( \mu_{0}=50). Como a amostra é pequena ( n=5) e a variância da população é desconhecida, usamos o teste t para uma amostra (one–sample t‑test).
  • Hipóteses (teste bilateral, porque erro sistemático pode ser para mais ou para menos):
H_0:\\ \mu=\mu_{0}=50
H_1:\\ \mu\neq50
  • Critério prático: escolhemos nível de significância usual \alpha=0,05 (a menos que o professor peça outro). Então comparamos |t_{\text{cal}}| com t_{\text{tab}} de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Calcular a média amostral \overline{x}.
  • Primeiro somamos os valores (vou mostrar a soma passo a passo):
50,4+50,7=101,1
101,1+49,1=150,2
150,2+49,0=199,2
199,2+51,1=250,3
  • Número de observações: n=5.
  • Logo a média é
\overline{x}=\frac{250,3}{5}=50,06\\ \mathrm{ng\\ mL^{-1}}.

Passo 4

Calcular a variância amostral (passo a passo) e o desvio‑padrão amostral s.
  • Para isso, calculamos os desvios (x_i-\overline{x}) e seus quadrados:
50,4-50,06=0,34,\quad (0,34)^2=0,1156
50,7-50,06=0,64,\quad (0,64)^2=0,4096
49,1-50,06=-0,96,\quad (-0,96)^2=0,9216
49,0-50,06=-1,06,\quad (-1,06)^2=1,1236
51,1-50,06=1,04,\quad (1,04)^2=1,0816
  • Somando os quadrados dos desvios (soma dos quadrados, SS):
SS=0,1156+0,4096+0,9216+1,1236+1,0816=3,652
  • A variância amostral é
s^{2}=\frac{SS}{n-1}=\frac{3,652}{5-1}=\frac{3,652}{4}=0,913
  • O desvio‑padrão amostral é
s=\sqrt{0,913}\approx0,955.
(Explicação rápida: usamos n-1 no denominador porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra — isso corrige o viés.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da média (SEM — standard error of the mean).
  • Fórmula:
\text{SEM}=\frac{s}{\sqrt{n}}
  • Substituindo:
\text{SEM}=\frac{0,955}{\sqrt{5}}=\frac{0,955}{2,236}\approx0,428.
(Interpretação: é a incerteza na estimativa da média amostral.)

Passo 6

Calcular t_{\text{cal}} usando a fórmula do teste t para uma amostra.
  • Fórmula do teste:
t_{\text{cal}}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\text{SEM}}.
  • Substituindo os valores:
t_{\text{cal}}=\frac{50,06-50}{0,428}=\frac{0,06}{0,428}\approx0,14.
(Arredondei para duas casas decimais em t_{\text{cal}}.)

Passo 7

Determinar t_{\text{tab}} e a regra de decisão.
  • Graus de liberdade: df=n-1=4.
  • Para \alpha=0,05 e teste bilateral, o valor crítico é
t_{\text{tab}}(df=4,\\ \alpha=0,05)=2,776.
(Este valor vem da tabela de Student; significa que devemos rejeitar H_0 se |t_{\text{cal}}|>2,776.)

Passo 8

Comparação e conclusão (explicação didática).
  • Temos |t_{\text{cal}}|=0,14 e t_{\text{tab}}=2,776.
  • Como |t_{\text{cal}}|<t_{\text{tab}}, não rejeitamos H_0.
  • Interpretação prática: não há evidência estatística, ao nível de 5%, de erro sistemático — a média observada não difere significativamente de \mu_{0}=50\\ \mathrm{ng\\ mL^{-1}}.
  • Comentário final encorajador: isso significa que, com os dados fornecidos, o método aparentemente não produz um viés detectável contra \mu_{0}=50. Se quiser maior sensibilidade, aumente n (mais repetições) ou escolha um \alpha maior, mas cuidado com aumentar a chance de erro tipo I.

Resposta

t_{\text{cal}}\approx0,14
t_{\text{tab}}(df=4,\\ \alpha=0,05)=2,776
Conclusão: não há evidência de erro sistemático ( |t_{\text{cal}}|<t_{\text{tab}}).

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