Contexto: Um circuito elétrico é modelado pela função de corrente I(t)= 5t^2+2 t+2.
Pergunta: Encontre a energia total fornecida ao circuito de t=0 a t=5.
integral0^5 5t^2+2 t+2 d t

Passo 1

O exercício dá a corrente I(t)=5t^2+2t+2 e pede a energia total de t=0 até t=5, representada pela integral
integral0^55t^2+2t+2,dt . Vamos usar técnicas de integração de funções racionais, completamento do quadrado e a fórmula do arco tangente.

Passo 2

Observando o denominador t^2+2t+2, completamos o quadrado:
t^2+2t+2=(t+1)^2+1 . Isso transforma a integral em
integral0^55(t+1)^2+1,dt .

Passo 3

Reconhecemos que integral 1u^2+1,du=arctan(u). Com a substituição u=t+1, temos du=dt e os limites mudam: quando t=0, u=1; quando t=5, u=6. Assim
integral0^55(t+1)^2+1,dt=5integral1^61u^2+1,du

Passo 4

Integrando e aplicando os limites:
5integral1^61u^2+1,du =5l[arctan(u)r]1^6 =5l(arctan(6)-arctan(1)r)

Passo 5

Como arctan(1)=tfracpi4, o resultado fica
5l(arctan(6)-tfracpi4r)

Resposta

5l(arctan(6)-tfracpi4r)

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